Номер 256, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 256, страница 100.

Условие.

256. Найти все значения $a$, при которых $f'(x) < 0$ для всех действительных значений $x$, если

$f(x) = ax^3 - 6x^2 - x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дана функция $f(x) = ax^3 - 6x^2 - x$. Требуется найти все значения параметра $a$, при которых производная этой функции $f'(x)$ будет строго меньше нуля для всех действительных значений $x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (ax^3 - 6x^2 - x)' = 3ax^2 - 12x - 1$.

Теперь нам нужно решить неравенство $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$:
$3ax^2 - 12x - 1 < 0$.

Левая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию от $x$. Обозначим ее $g(x) = 3ax^2 - 12x - 1$. Графиком этой функции является парабола. Чтобы эта парабола целиком лежала ниже оси абсцисс (то есть $g(x) < 0$ для всех $x$), должны выполняться два условия:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным, чтобы ветви параболы были направлены вниз.
2. Квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней, то есть его дискриминант должен быть отрицательным.

Рассмотрим отдельно случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит при $3a=0$, то есть $a=0$. В этом случае производная становится линейной функцией:
$f'(x) = -12x - 1$.
Неравенство $-12x - 1 < 0$ не выполняется для всех действительных $x$. Например, при $x=-2$, получаем $f'(-2) = -12(-2) - 1 = 24 - 1 = 23$, что больше нуля. Следовательно, значение $a=0$ не является решением.

Теперь вернемся к случаю, когда $a \neq 0$ и $f'(x)$ является квадратичной функцией. Применим два условия, сформулированные выше.

Условие 1: Коэффициент при $x^2$ отрицателен.
$3a < 0 \implies a < 0$.

Условие 2: Дискриминант $D$ квадратного трехчлена $3ax^2 - 12x - 1$ отрицателен.
$D = B^2 - 4AC$, где $A=3a$, $B=-12$, $C=-1$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot (3a) \cdot (-1) = 144 + 12a$.
Требуем, чтобы $D < 0$:
$144 + 12a < 0$
$12a < -144$
$a < \frac{-144}{12}$
$a < -12$.

Для нахождения итогового решения необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} a < 0 \\ a < -12 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $a < -12$. Если $a$ меньше -12, то оно автоматически меньше 0.

Ответ: $a < -12$.