Номер 263, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 263, страница 101.

Условие.

263. Прямая касается гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в точке (1; 4).

Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи сначала найдем уравнение прямой, касающейся гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в точке $(1; 4)$. Затем, найдя точки пересечения этой прямой с осями координат, мы сможем вычислить площадь образованного треугольника.

1. Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с координатами $(x_0; y_0)$ задается формулой:$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$где $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

В нашем случае функция $f(x) = \frac{4}{x}$, а точка касания $(x_0; y_0) = (1; 4)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим ее в виде $f(x) = 4x^{-1}$:$f'(x) = (4x^{-1})' = -1 \cdot 4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$

Теперь найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 1$:$f'(1) = -\frac{4}{1^2} = -4$

Подставим известные значения $x_0 = 1$, $y_0 = 4$ и $f'(1) = -4$ в уравнение касательной:$y - 4 = -4(x - 1)$$y - 4 = -4x + 4$$y = -4x + 8$

Таким образом, уравнение касательной прямой — $y = -4x + 8$.

2. Вычисление площади треугольника

Треугольник, ограниченный касательной и осями координат, является прямоугольным. Его катеты лежат на осях Ox и Oy. Длины катетов равны отрезкам, которые касательная отсекает на осях. Чтобы найти эти длины, найдем точки пересечения прямой $y = -4x + 8$ с осями координат.

Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), приравняв $x$ к нулю:$y = -4(0) + 8 = 8$Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 8)$. Длина одного катета равна 8.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняв $y$ к нулю:$0 = -4x + 8$$4x = 8$$x = 2$Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(2; 0)$. Длина второго катета равна 2.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$

Ответ: 8