Номер 266, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 266, страница 101.

Условие.

266. Масса сахара $m$, растворяющегося в воде за время от начала растворения $t_0$ до момента $t$, определяется функцией $m = f(t)$. Найти:

1) массу сахара, растворяющегося за промежуток времени $[t_1; t_2]$;

2) среднюю скорость растворения сахара за промежуток времени $[t_1; t_2]$;

3) мгновенную скорость растворения сахара в момент времени $t$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) массу сахара, растворяющегося за промежуток времени $[t_1; t_2]$

Согласно условию, функция $m = f(t)$ определяет общую массу сахара, которая растворилась с начального момента времени $t_0$ до произвольного момента времени $t$.
Масса сахара, растворившаяся к моменту времени $t_1$, будет равна $m_1 = f(t_1)$.
Аналогично, масса сахара, растворившаяся к моменту времени $t_2$, будет равна $m_2 = f(t_2)$.
Чтобы найти массу сахара, которая растворилась именно в промежутке времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо из общей массы, растворившейся к моменту $t_2$, вычесть общую массу, растворившуюся к моменту $t_1$. Обозначим искомую массу как $\Delta m$.

$\Delta m = m_2 - m_1 = f(t_2) - f(t_1)$.
Ответ: Масса сахара, растворившегося за промежуток времени $[t_1; t_2]$, равна $f(t_2) - f(t_1)$.

2) среднюю скорость растворения сахара за промежуток времени $[t_1; t_2]$

Средняя скорость изменения величины на некотором промежутке — это отношение изменения этой величины к длительности промежутка. В данном случае, это отношение изменения массы растворившегося сахара к изменению времени.
Изменение массы сахара за промежуток $[t_1; t_2]$ равно $\Delta m = f(t_2) - f(t_1)$.
Длительность промежутка времени равна $\Delta t = t_2 - t_1$.
Тогда средняя скорость растворения, обозначим ее $v_{ср}$, вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$.
Ответ: Средняя скорость растворения сахара за промежуток времени $[t_1; t_2]$ равна $\frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$.

3) мгновенную скорость растворения сахара в момент времени $t$

Мгновенная скорость растворения — это скорость в конкретный момент времени $t$. Она определяется как предел, к которому стремится средняя скорость растворения, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю. Этот предел является производной функции по времени.
Для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ нужно найти производную от функции массы $m = f(t)$ по времени $t$.

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t} = f'(t)$.
Ответ: Мгновенная скорость растворения сахара в момент времени $t$ равна производной функции $f(t)$, то есть $f'(t)$.