Номер 265, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 265, страница 101.

Условие.

265. Поршень сжимает воздух, находящийся в цилиндре, таким образом, что давление увеличивается со скоростью $800 \text{ Па/с}$, а его объём уменьшается со скоростью $2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3/\text{с}$. С какой скоростью изменяется температура воздуха $T$ в тот момент, когда давление равно $1,6 \cdot 10^5 \text{ Па}$, объём равен $0,01 \text{ м}^3$, а температура равна $400^{\circ}\text{К}$? (Воздух в расчётах считать идеальным газом.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи мы будем использовать уравнение состояния идеального газа, также известное как уравнение Менделеева-Клапейрона, которое связывает давление $P$, объём $V$ и температуру $T$ газа:
$PV = nRT$
В этом уравнении $n$ — это количество вещества газа, а $R$ — универсальная газовая постоянная. Так как поршень сжимает воздух в закрытом цилиндре, количество воздуха $n$ остается постоянным. Следовательно, произведение $nR$ является константой.
Все три параметра состояния газа — давление $P(t)$, объём $V(t)$ и температура $T(t)$ — являются функциями времени. Чтобы найти связь между скоростями их изменения, необходимо продифференцировать уравнение состояния идеального газа по времени $t$. Применим правило дифференцирования произведения для левой части уравнения $(P(t)V(t))' = P'(t)V(t) + P(t)V'(t)$:
$\frac{d}{dt}(PV) = \frac{d}{dt}(nRT)$
$\frac{dP}{dt}V + P\frac{dV}{dt} = nR\frac{dT}{dt}$
Из этого уравнения мы можем выразить искомую скорость изменения температуры $\frac{dT}{dt}$:
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{nR} \left( \frac{dP}{dt}V + P\frac{dV}{dt} \right)$
Значение константы $nR$ можно вычислить, используя данные для конкретного момента времени, указанные в условии задачи:
$P = 1,6 \cdot 10^5$ Па
$V = 0,01$ м³
$T = 400$ К
$nR = \frac{PV}{T} = \frac{1,6 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0,01 \text{ м³}}{400 \text{ К}} = \frac{1600}{400} = 4 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$
Теперь подставим все известные значения в формулу для $\frac{dT}{dt}$. Согласно условию, давление увеличивается, поэтому его производная положительна, а объём уменьшается, поэтому его производная отрицательна:
$\frac{dP}{dt} = 800$ Па/с
$\frac{dV}{dt} = -2 \cdot 10^{-5}$ м³/с
Проводим вычисления:
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} \left( (800) \cdot (0,01) + (1,6 \cdot 10^5) \cdot (-2 \cdot 10^{-5}) \right)$
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} \left( 8 - 1,6 \cdot 2 \cdot 10^{5-5} \right)$
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} (8 - 3,2)$
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} (4,8) = 1,2$ К/с
Положительный знак результата означает, что температура воздуха в данный момент времени возрастает.
Ответ: температура воздуха изменяется со скоростью 1,2 К/с.