Номер 3, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 3, страница 101.

Условие.

3. Какая последовательность называется монотонной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Числовая последовательность $\{a_n\}$ называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей. Это означает, что для всех членов последовательности сохраняется один и тот же характер изменения: они либо не уменьшаются, либо не увеличиваются с ростом их порядкового номера $n$.

Виды монотонных последовательностей

Различают четыре вида монотонных последовательностей, которые можно разделить на две основные группы: монотонные (в нестрогом смысле) и строго монотонные.

Неубывающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется неубывающей (или возрастающей в нестрогом смысле), если каждый её последующий член не меньше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} \ge a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: $1, 3, 3, 5, 8, 8, 10, \dots$

Невозрастающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется невозрастающей (или убывающей в нестрогом смысле), если каждый её последующий член не больше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} \le a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: $10, 5, 5, 2, 0, -1, -1, \dots$

Для более точной классификации вводят понятие строгой монотонности.

Строго возрастающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется строго возрастающей, если каждый её последующий член строго больше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, \dots$

Строго убывающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется строго убывающей, если каждый её последующий член строго меньше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

Таким образом, любая строго возрастающая последовательность является также и неубывающей, а любая строго убывающая — невозрастающей. Обобщающий термин "монотонная последовательность" охватывает все четыре перечисленных типа. Если последовательность не относится ни к одному из этих типов (например, знакочередующаяся последовательность $1, -1, 2, -2, \dots$), она называется немонотонной.

Ответ:
Монотонной называется последовательность, члены которой либо не убывают, либо не возрастают. То есть для всех ее членов $a_n$ при любом натуральном $n$ выполняется одно из двух условий: либо $a_{n+1} \ge a_n$ (неубывающая последовательность), либо $a_{n+1} \le a_n$ (невозрастающая последовательность).