Номер 4, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 4, страница 101.

Условие.

4. Привести пример функции, имеющей вертикальную (горизонтальную) асимптоту.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пример функции, имеющей вертикальную асимптоту

Вертикальная асимптота — это вертикальная прямая вида $x=a$, к которой неограниченно приближается график функции, когда аргумент $x$ стремится к $a$. Формально, прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой для функции $f(x)$, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: $ \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty $ (или $-\infty$) или $ \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty $ (или $-\infty$).

Вертикальные асимптоты часто возникают в точках разрыва функции, например, у дробно-рациональных функций в точках, где знаменатель обращается в ноль, а числитель не равен нулю.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x-5}$.

Эта функция не определена в точке $x=5$, так как знаменатель обращается в ноль. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки, найдя односторонние пределы:

Предел справа: $ \lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{+0} = +\infty $

Предел слева: $ \lim_{x \to 5^-} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{-0} = -\infty $

Поскольку при приближении $x$ к 5 значения функции неограниченно возрастают (справа) или убывают (слева), прямая $x=5$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Ответ: функция $f(x) = \frac{1}{x-5}$ имеет вертикальную асимптоту $x=5$.

Пример функции, имеющей горизонтальную асимптоту

Горизонтальная асимптота — это горизонтальная прямая вида $y=b$, к которой неограниченно приближается график функции, когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$. Формально, прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой для функции $f(x)$, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = b $ или $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = b $.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$.

Чтобы найти горизонтальные асимптоты, нужно вычислить пределы этой функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$. Для этого разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x$:

$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x-1}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x-1}{x}}{\frac{x+2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} $

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 $

Аналогичный предел будет и при $x \to -\infty$.

Поскольку предел функции на бесконечности равен конечному числу 3, прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой графика функции.

Ответ: функция $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$ имеет горизонтальную асимптоту $y=3$.