Номер 1, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 1, страница 101.

Условие.

1. Перечислить способы задания числовой последовательности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Числовая последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$. Каждому натуральному числу $n$ (номеру члена) ставится в соответствие некоторое действительное число $a_n$ (член последовательности). Задать последовательность — значит указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым натуральным номером. Существует несколько основных способов это сделать.

1. Аналитический способ

При аналитическом способе последовательность задается с помощью формулы ее n-го члена, то есть формулы, которая позволяет по номеру члена $n$ найти сам член последовательности $a_n$. Такая формула имеет вид $a_n = f(n)$. Это один из самых удобных способов, так как он позволяет сразу найти любой член последовательности, зная его номер.

Пример 1: Последовательность квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, ..., $n^2$, ... задается формулой $a_n = n^2$. С помощью этой формулы можно найти, например, сотый член последовательности: $a_{100} = 100^2 = 10000$.

Пример 2: Последовательность, заданная формулой $x_n = \frac{n-1}{n+1}$, начинается с членов: $x_1 = \frac{1-1}{1+1} = 0$, $x_2 = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$, $x_3 = \frac{3-1}{3+1} = \frac{1}{2}$, и так далее.

Ответ: Аналитический способ задания последовательности заключается в указании формулы n-го члена $a_n = f(n)$.

2. Рекуррентный способ

При рекуррентном (от лат. recurrere — возвращаться) способе задается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для этого необходимо также задать один или несколько начальных членов последовательности. Формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие члены, называется рекуррентным соотношением.

Пример 1: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 4$. Ее можно задать рекуррентно: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$. Первые члены этой последовательности: 3, 7, 11, 15, ... Чтобы найти, например, $a_4$, нужно последовательно вычислить $a_2 = a_1 + 4 = 7$, $a_3 = a_2 + 4 = 11$, $a_4 = a_3 + 4 = 15$.

Пример 2: Последовательность Фибоначчи задается двумя первыми членами $F_1 = 1$, $F_2 = 1$ и рекуррентным соотношением $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Каждый следующий член равен сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Ответ: Рекуррентный способ заключается в указании правила, позволяющего вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены, а также задании одного или нескольких начальных членов.

3. Словесный способ

Этот способ состоит в том, что правило задания последовательности описывается словами, без использования формул. Такой способ применяется тогда, когда найти аналитическое или рекуррентное выражение для членов последовательности затруднительно или нецелесообразно.

Пример 1: Последовательность простых чисел. Она задается описанием: "последовательность, членами которой являются все простые числа в порядке возрастания". Первые члены: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Не существует простой формулы для n-го простого числа.

Пример 2: Последовательность, n-й член которой — n-й знак после запятой в десятичной записи числа $\pi$. Первые члены: 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...

Ответ: Словесный способ — это задание последовательности описанием на естественном языке правила, по которому составляются ее члены.