Номер 261, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 261, страница 101.

Условие.

261. Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, параллельной оси $Ox$, если:

1) $f(x) = x^2 - 4x;$

2) $f(x) = (x - 1)(x - 2);$

3) $f(x) = x^4 + 32x - 3;$

4) $f(x) = x^6 + 6x - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$, параллельной оси $Ox$, необходимо найти точки, в которых производная функции обращается в ноль. Касательная, параллельная оси $Ox$, является горизонтальной прямой, и ее угловой коэффициент $k$ равен нулю. Так как угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$, нам нужно решить уравнение $f'(x) = 0$. Найдя абсциссу точки касания $x_0$, мы можем найти соответствующую ординату $y_0 = f(x_0)$. Уравнение искомой касательной будет иметь вид $y = y_0$.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 4x$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 2x_0 - 4 = 0$
$2x_0 = 4$
$x_0 = 2$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:
$y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Уравнение касательной, параллельной оси $Ox$, имеет вид $y = y_0$.
Таким образом, искомое уравнение: $y = -4$.
Ответ: $y = -4$.

2) Дана функция $f(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Сначала раскроем скобки: $f(x) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 2x_0 - 3 = 0$
$2x_0 = 3$
$x_0 = \frac{3}{2}$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} - 1)(\frac{3}{2} - 2) = (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$.
Или, используя раскрытое выражение: $y_0 = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9 - 18 + 8}{4} = -\frac{1}{4}$.
Искомое уравнение касательной: $y = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $y = -\frac{1}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = x^4 + 32x - 3$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^4 + 32x - 3)' = 4x^3 + 32$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 4x_0^3 + 32 = 0$
$4x_0^3 = -32$
$x_0^3 = -8$
$x_0 = -2$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(-2) = (-2)^4 + 32 \cdot (-2) - 3 = 16 - 64 - 3 = -51$.
Искомое уравнение касательной: $y = -51$.
Ответ: $y = -51$.

4) Дана функция $f(x) = x^6 + 6x - 2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^6 + 6x - 2)' = 6x^5 + 6$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 6x_0^5 + 6 = 0$
$6x_0^5 = -6$
$x_0^5 = -1$
$x_0 = -1$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(-1) = (-1)^6 + 6 \cdot (-1) - 2 = 1 - 6 - 2 = -7$.
Искомое уравнение касательной: $y = -7$.
Ответ: $y = -7$.