Номер 260, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 260, страница 101.

Условие.

260. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $y=2\sin\frac{x}{2}$, $x_0=\frac{3\pi}{2}$;

2) $y=2^{-x}-2^{-2x}$, $x_0=2$;

3) $y=\frac{x+3}{2-x}$, $x_0=2$;

4) $y=x+\ln x$, $x_0=e$;

5) $y=e^{x^2-1}$, $x_0=1$;

6) $y=\sin(\pi x^2)$, $x_0=1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общая формула уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения каждой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке касания $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания $f'(x_0)$ (это угловой коэффициент касательной).
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной и упростить выражение.

1) Дана функция $y = 2\sin\frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{3\pi}{2}$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (2\sin\frac{x}{2})' = 2\cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = 2\cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \cos(\frac{x}{2})$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Уравнение касательной:

$y = \sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2})(x - \frac{3\pi}{2})$

$y = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$.

2) Дана функция $y = 2^{-x} - 2^{-2x}$ и точка $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(2) = 2^{-2} - 2^{-2 \cdot 2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$.

2. Производная функции (используя формулу $(a^u)'=a^u \ln a \cdot u'$):

$f'(x) = (2^{-x} - 2^{-2x})' = 2^{-x}\ln(2) \cdot (-1) - 2^{-2x}\ln(2) \cdot (-2) = -2^{-x}\ln(2) + 2 \cdot 2^{-2x}\ln(2)$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(2) = -2^{-2}\ln(2) + 2 \cdot 2^{-4}\ln(2) = -\frac{1}{4}\ln(2) + 2 \cdot \frac{1}{16}\ln(2) = -\frac{1}{4}\ln(2) + \frac{1}{8}\ln(2) = (-\frac{2}{8} + \frac{1}{8})\ln(2) = -\frac{1}{8}\ln(2)$.

4. Уравнение касательной:

$y = \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8}(x - 2)$

$y = \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8}x + \frac{2\ln(2)}{8} = \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8}x + \frac{\ln(2)}{4}$

$y = -\frac{\ln(2)}{8}x + \frac{3 + 4\ln(2)}{16}$

Ответ: $y = -\frac{\ln 2}{8}x + \frac{3 + 4\ln 2}{16}$.

3) Дана функция $y = \frac{x+3}{2-x}$ и точка $x_0 = 2$.

Область определения функции $f(x)$ - это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае $2-x \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Поскольку точка $x_0 = 2$ не входит в область определения функции, то функция в этой точке не определена. Следовательно, невозможно построить касательную к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Ответ: Касательная не существует, так как функция не определена в точке $x_0 = 2$.

4) Дана функция $y = x + \ln x$ и точка $x_0 = e$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(e) = e + \ln e = e + 1$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (x + \ln x)' = 1 + \frac{1}{x}$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(e) = 1 + \frac{1}{e}$.

4. Уравнение касательной:

$y = (e + 1) + (1 + \frac{1}{e})(x - e)$

$y = e + 1 + (1 + \frac{1}{e})x - e(1 + \frac{1}{e})$

$y = e + 1 + (1 + \frac{1}{e})x - (e + 1)$

$y = (1 + \frac{1}{e})x$

Ответ: $y = (1 + \frac{1}{e})x$.

5) Дана функция $y = e^{x^2-1}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = e^{1^2-1} = e^0 = 1$.

2. Производная функции (используя правило дифференцирования сложной функции):

$f'(x) = (e^{x^2-1})' = e^{x^2-1} \cdot (x^2-1)' = e^{x^2-1} \cdot 2x$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = e^{1^2-1} \cdot 2(1) = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$.

4. Уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 1)$

$y = 1 + 2x - 2$

$y = 2x - 1$

Ответ: $y = 2x - 1$.

6) Дана функция $y = \sin(\pi x^2)$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = \sin(\pi \cdot 1^2) = \sin(\pi) = 0$.

2. Производная функции (используя правило дифференцирования сложной функции):

$f'(x) = (\sin(\pi x^2))' = \cos(\pi x^2) \cdot (\pi x^2)' = \cos(\pi x^2) \cdot 2\pi x = 2\pi x \cos(\pi x^2)$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = 2\pi (1) \cos(\pi \cdot 1^2) = 2\pi \cos(\pi) = 2\pi(-1) = -2\pi$.

4. Уравнение касательной:

$y = 0 + (-2\pi)(x - 1)$

$y = -2\pi x + 2\pi$

Ответ: $y = -2\pi x + 2\pi$.