Номер 253, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 253, страница 100.

Условие.

253. 1) $y = \cos^2 3x;$ 2) $y = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2};$

3) $\sin(2x^2 - 3x);$ 4) $\cos(x + 2x^3);$ 5) $e^{\operatorname{tg} x};$

6) $\cos(e^x);$ 7) $3^{x^2};$ 8) $2^{\cos x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = \cos^2(3x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).
Представим функцию в виде $y = u^2$, где $u = \cos(v)$, а $v = 3x$.
Производная $y'$ находится как произведение производных: $y' = (u^2)'_u \cdot (\cos(v))'_v \cdot (3x)'_x$.
Находим каждую производную по отдельности:
$(u^2)'_u = 2u = 2\cos(3x)$
$(\cos(v))'_v = -\sin(v) = -\sin(3x)$
$(3x)'_x = 3$
Перемножаем полученные результаты:
$y' = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\sin(3x)\cos(3x)$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, упростим выражение:
$y' = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(2 \cdot 3x) = -3\sin(6x)$.
Ответ: $y' = -3\sin(6x)$.

2) Для нахождения производной функции $y = \text{tg}^2 \frac{x}{2}$ применим цепное правило.
Функцию можно представить как $y = u^2$, где $u = \text{tg}(v)$, а $v = \frac{x}{2}$.
Производная $y'$ равна $y' = (u^2)'_u \cdot (\text{tg}(v))'_v \cdot (\frac{x}{2})'_x$.
Находим производные:
$(u^2)'_u = 2u = 2\text{tg}(\frac{x}{2})$
$(\text{tg}(v))'_v = \frac{1}{\cos^2(v)} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})}$
$(\frac{x}{2})'_x = \frac{1}{2}$
Перемножаем их:
$y' = 2\text{tg}(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\text{tg}(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}$.
Ответ: $y' = \frac{\text{tg}(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}$.

3) Находим производную функции $y = \sin(2x^2 - 3x)$ по правилу дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 2x^2 - 3x$, тогда $y = \sin(u)$.
Производная $y'$ вычисляется по формуле $y' = (\sin(u))'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(\sin(u))'_u = \cos(u) = \cos(2x^2 - 3x)$
$(u)'_x = (2x^2 - 3x)' = 4x - 3$
Следовательно, производная исходной функции равна:
$y' = \cos(2x^2 - 3x) \cdot (4x - 3) = (4x - 3)\cos(2x^2 - 3x)$.
Ответ: $y' = (4x - 3)\cos(2x^2 - 3x)$.

4) Для нахождения производной функции $y = \cos(x + 2x^3)$ используем цепное правило.
Пусть $u = x + 2x^3$, тогда $y = \cos(u)$.
Производная $y'$ равна $y' = (\cos(u))'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(\cos(u))'_u = -\sin(u) = -\sin(x + 2x^3)$
$(u)'_x = (x + 2x^3)' = 1 + 6x^2$
Таким образом, производная исходной функции:
$y' = -\sin(x + 2x^3) \cdot (1 + 6x^2) = -(1 + 6x^2)\sin(x + 2x^3)$.
Ответ: $y' = -(1 + 6x^2)\sin(x + 2x^3)$.

5) Находим производную функции $y = e^{\text{tg } x}$ по правилу дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \text{tg } x$, тогда $y = e^u$.
Производная $y'$ вычисляется по формуле $y' = (e^u)'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(e^u)'_u = e^u = e^{\text{tg } x}$
$(\text{tg } x)'_x = \frac{1}{\cos^2 x}$
Перемножая результаты, получаем:
$y' = e^{\text{tg } x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{e^{\text{tg } x}}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{e^{\text{tg } x}}{\cos^2 x}$.

6) Для нахождения производной функции $y = \cos(e^x)$ воспользуемся цепным правилом.
Пусть $u = e^x$, тогда $y = \cos(u)$.
Производная $y'$ равна $y' = (\cos(u))'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(\cos(u))'_u = -\sin(u) = -\sin(e^x)$
$(u)'_x = (e^x)' = e^x$
Следовательно, производная исходной функции:
$y' = -\sin(e^x) \cdot e^x = -e^x\sin(e^x)$.
Ответ: $y' = -e^x\sin(e^x)$.

7) Находим производную функции $y = 3^{x^2}$. Это сложная функция вида $a^u$.
Используем формулу производной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
В нашем случае $a = 3$ и $u(x) = x^2$.
Находим производную показателя степени: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.
Подставляем в формулу:
$y' = 3^{x^2} \cdot \ln(3) \cdot (2x) = 2x \cdot 3^{x^2} \ln(3)$.
Ответ: $y' = 2x \cdot 3^{x^2} \ln(3)$.

8) Находим производную функции $y = 2^{\cos x}$. Это сложная функция вида $a^u$.
Используем формулу производной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a = 2$ и $u(x) = \cos x$.
Находим производную показателя степени: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Подставляем в формулу:
$y' = 2^{\cos x} \cdot \ln(2) \cdot (-\sin x) = -2^{\cos x} \sin x \ln(2)$.
Ответ: $y' = -2^{\cos x} \sin x \ln(2)$.