Номер 252, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 252, страница 99.

Условие.

252. Найти производную функции:

1) $\ln^2 x$

2) $\sqrt{\ln x}$

3) $\sin \sqrt{x}$

4) $\cos^4 x$

5) $\sqrt{\operatorname{tg} x}$

6) $\operatorname{ctg} 3x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = \ln^2 x = (\ln x)^2$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^2$, а внутренняя функция — $u = g(x) = \ln x$.
Находим производные этих функций:

• Производная внешней функции: $f'(u) = (u^2)' = 2u$.
• Производная внутренней функции: $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Теперь подставляем эти производные в цепное правило:$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{2 \ln x}{x}$.

2) Для функции $y = \sqrt{\ln x} = (\ln x)^{1/2}$ применяем цепное правило.
Внешняя функция: $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$.
Внутренняя функция: $u = g(x) = \ln x$.
Находим их производные:

• $f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
• $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

По цепному правилу производная исходной функции равна:$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$.

3) Для функции $y = \sin \sqrt{x}$ применяем цепное правило.
Внешняя функция: $f(u) = \sin u$.
Внутренняя функция: $u = g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Находим их производные:

• $f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.
• $g'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная исходной функции:$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

4) Для функции $y = \cos^4 x = (\cos x)^4$ применяем цепное правило.
Внешняя функция: $f(u) = u^4$.
Внутренняя функция: $u = g(x) = \cos x$.
Находим их производные:

• $f'(u) = (u^4)' = 4u^3$.
• $g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Производная исходной функции:$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(\cos x)^3 \cdot (-\sin x) = -4 \cos^3 x \sin x$.
Ответ: $y' = -4 \cos^3 x \sin x$.

5) Для функции $y = \sqrt{\operatorname{tg} x} = (\operatorname{tg} x)^{1/2}$ применяем цепное правило.
Внешняя функция: $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$.
Внутренняя функция: $u = g(x) = \operatorname{tg} x$.
Находим их производные:

• $f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
• $g'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Производная исходной функции:$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{tg} x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\operatorname{tg} x}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\operatorname{tg} x}}$.

6) Для функции $y = \operatorname{ctg} 3x$ применяем цепное правило.
Внешняя функция: $f(u) = \operatorname{ctg} u$.
Внутренняя функция: $u = g(x) = 3x$.
Находим их производные:

• $f'(u) = (\operatorname{ctg} u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.
• $g'(x) = (3x)' = 3$.

Производная исходной функции:$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot 3 = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$.