Номер 250, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 250, страница 99.

Условие.

250. Найти вертикальные асимптоты графика функции $y = f(x)$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{x^2-9}$;

2) $f(x) = \frac{x+2}{3x+1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Вертикальные асимптоты графика функции существуют в тех точках $x = a$, в которых функция не определена (терпит разрыв), и хотя бы один из односторонних пределов в этой точке равен бесконечности:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$.

Для дробно-рациональных функций вида $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ вертикальные асимптоты следует искать в точках, где знаменатель $Q(x)$ обращается в ноль, а числитель $P(x)$ не равен нулю.

1) $f(x) = \frac{1}{x^2-9}$

1. Найдем область определения функции. Функция не определена в точках, где знаменатель равен нулю.
$x^2 - 9 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$
Отсюда получаем две точки разрыва: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. Проверим, являются ли эти точки нулями числителя. Числитель равен 1 и не зависит от $x$, поэтому он не равен нулю в этих точках. Следовательно, прямые $x=3$ и $x=-3$ являются вертикальными асимптотами.

3. Для полной уверенности найдем односторонние пределы в этих точках.
Для точки $x = 3$:
$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x^2 - 9} = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{(+0) \cdot (6)} = +\infty$
$\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x^2 - 9} = \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{(-0) \cdot (6)} = -\infty$
Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = 3$ является вертикальной асимптотой.

Для точки $x = -3$:
$\lim_{x \to -3^+} \frac{1}{x^2 - 9} = \lim_{x \to -3^+} \frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{(-6) \cdot (+0)} = -\infty$
$\lim_{x \to -3^-} \frac{1}{x^2 - 9} = \lim_{x \to -3^-} \frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{(-6) \cdot (-0)} = +\infty$
Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: $x=3, x=-3$.

2) $f(x) = \frac{x+2}{3x+1}$

1. Найдем область определения функции. Функция не определена в точке, где знаменатель равен нулю.
$3x + 1 = 0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Точка разрыва: $x = -\frac{1}{3}$.

2. Проверим, является ли эта точка нулем числителя.
Подставим $x = -\frac{1}{3}$ в числитель $x+2$:
$-\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \neq 0$
Так как числитель не равен нулю в точке разрыва, прямая $x = -\frac{1}{3}$ является вертикальной асимптотой.

3. Для полной уверенности найдем односторонние пределы в этой точке.
$\lim_{x \to -1/3^+} \frac{x+2}{3x+1} = \frac{-1/3+2}{+0} = \frac{5/3}{+0} = +\infty$
$\lim_{x \to -1/3^-} \frac{x+2}{3x+1} = \frac{-1/3+2}{-0} = \frac{5/3}{-0} = -\infty$
Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = -\frac{1}{3}$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.