Номер 248, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 248, страница 99.

Условие.

248. 1) $\frac{1}{5}x^2 + 2\ln x - \cos x;$

2) $\frac{1}{4}x^2 - e^x + 2\sin x;$

3) $15\sqrt[5]{x} + e^x - 6\operatorname{tg} x;$

4) $6\sqrt[6]{x} - \ln x + \frac{1}{3}\cos x;$

5) $x^2(x-1) + 3\sin x + 4\operatorname{ctg} x;$

6) $x(x+2)^2 + 2\ln x - 3\cos x;$

7) $(x-1)(x+2) + e^x - \ln x;$

8) $(x+3)(2x-1) + e^x - \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $y = \frac{1}{5}x^2 + 2\ln x - \cos x$.

Для нахождения производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и основными формулами производных: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $(\cos x)'=-\sin x$.

Применяя эти правила, дифференцируем функцию по слагаемым:

$y' = (\frac{1}{5}x^2)' + (2\ln x)' - (\cos x)' = \frac{1}{5} \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot \frac{1}{x} - (-\sin x) = \frac{2}{5}x + \frac{2}{x} + \sin x$.

Ответ: $\frac{2}{5}x + \frac{2}{x} + \sin x$.

2)

Дана функция $y = \frac{1}{4}x^2 - e^x + 2\sin x$.

Для нахождения производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и основными формулами производных: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\sin x)'=\cos x$.

Дифференцируем функцию по слагаемым:

$y' = (\frac{1}{4}x^2)' - (e^x)' + (2\sin x)' = \frac{1}{4} \cdot 2x^{2-1} - e^x + 2\cos x = \frac{1}{2}x - e^x + 2\cos x$.

Ответ: $\frac{1}{2}x - e^x + 2\cos x$.

3)

Дана функция $y = 15\sqrt[5]{x} + e^x - 6\operatorname{tg} x$.

Сначала перепишем корень в виде степени: $\sqrt[5]{x} = x^{1/5}$. Функция примет вид $y = 15x^{1/5} + e^x - 6\operatorname{tg} x$.

Для нахождения производной $y'$ используем формулы: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\operatorname{tg} x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$.

$y' = (15x^{1/5})' + (e^x)' - (6\operatorname{tg} x)' = 15 \cdot \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} + e^x - 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 3x^{-4/5} + e^x - \frac{6}{\cos^2 x}$.

Ответ: $3x^{-4/5} + e^x - \frac{6}{\cos^2 x}$.

4)

Дана функция $y = 6\sqrt[6]{x} - \ln x + \frac{1}{3}\cos x$.

Сначала перепишем корень в виде степени: $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$. Функция примет вид $y = 6x^{1/6} - \ln x + \frac{1}{3}\cos x$.

Для нахождения производной $y'$ используем формулы: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $(\cos x)'=-\sin x$.

$y' = (6x^{1/6})' - (\ln x)' + (\frac{1}{3}\cos x)' = 6 \cdot \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3}(-\sin x) = x^{-5/6} - \frac{1}{x} - \frac{1}{3}\sin x$.

Ответ: $x^{-5/6} - \frac{1}{x} - \frac{1}{3}\sin x$.

5)

Дана функция $y = x^2(x-1) + 3\sin x + 4\operatorname{ctg} x$.

Сначала упростим первое слагаемое, раскрыв скобки: $x^2(x-1) = x^3 - x^2$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = x^3 - x^2 + 3\sin x + 4\operatorname{ctg} x$.

Найдем производную, используя формулы: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sin x)'=\cos x$, $(\operatorname{ctg} x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}$.

$y' = (x^3)' - (x^2)' + (3\sin x)' + (4\operatorname{ctg} x)' = 3x^2 - 2x + 3\cos x + 4(-\frac{1}{\sin^2 x}) = 3x^2 - 2x + 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$.

Ответ: $3x^2 - 2x + 3\cos x - \frac{4}{\sin^2 x}$.

6)

Дана функция $y = x(x+2)^2 + 2\ln x - 3\cos x$.

Сначала упростим первое слагаемое: $x(x+2)^2 = x(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = x^3 + 4x^2 + 4x + 2\ln x - 3\cos x$.

Найдем производную, используя формулы: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $(\cos x)'=-\sin x$.

$y' = (x^3)' + (4x^2)' + (4x)' + (2\ln x)' - (3\cos x)' = 3x^2 + 8x + 4 + \frac{2}{x} - 3(-\sin x) = 3x^2 + 8x + 4 + \frac{2}{x} + 3\sin x$.

Ответ: $3x^2 + 8x + 4 + \frac{2}{x} + 3\sin x$.

7)

Дана функция $y = (x-1)(x+2) + e^x - \ln x$.

Сначала упростим первое слагаемое, раскрыв скобки: $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = x^2 + x - 2 + e^x - \ln x$.

Найдем производную, используя формулы: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$.

$y' = (x^2)' + (x)' - (2)' + (e^x)' - (\ln x)' = 2x + 1 - 0 + e^x - \frac{1}{x} = 2x + 1 + e^x - \frac{1}{x}$.

Ответ: $2x + 1 + e^x - \frac{1}{x}$.

8)

Дана функция $y = (x+3)(2x-1) + e^x - \sin x$.

Сначала упростим первое слагаемое, раскрыв скобки: $(x+3)(2x-1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 2x^2 + 5x - 3 + e^x - \sin x$.

Найдем производную, используя формулы: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\sin x)'=\cos x$.

$y' = (2x^2)' + (5x)' - (3)' + (e^x)' - (\sin x)' = 4x + 5 - 0 + e^x - \cos x = 4x + 5 + e^x - \cos x$.

Ответ: $4x + 5 + e^x - \cos x$.