Номер 243, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 243, страница 98.

Условие.

243. Найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \cos x \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = e^x \ln x, x_0 = 1$;

3) $f(x) = \frac{2\cos x}{\sin x}, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

4) $f(x) = \frac{x}{1+e^x}, x_0 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = \cos x \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
Для нахождения производной $f'(x)$ сначала упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Из этой формулы следует, что $\cos x \sin x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Таким образом, $f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.
Теперь необходимо найти значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Подставим это значение в полученное выражение для производной:
$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$.
Следовательно, $f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = e^x \ln x$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
В нашем случае $u(x) = e^x$ и $v(x) = \ln x$. Их производные равны $u'(x) = e^x$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.
Тогда производная функции $f(x)$ будет:
$f'(x) = (e^x)' \ln x + e^x (\ln x)' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x(\ln x + \frac{1}{x})$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = e^1(\ln 1 + \frac{1}{1})$.
Так как $\ln 1 = 0$ и $e^1 = e$, получаем:
$f'(1) = e(0 + 1) = e \cdot 1 = e$.
Ответ: $e$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{2\cos x}{\sin x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Упростим функцию, используя определение котангенса: $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$f(x) = 2\cot x$.
Найдем производную функции $f(x)$. Производная котангенса: $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$f'(x) = (2\cot x)' = 2 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2}{\sin^2 x}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}$.
Знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда $\sin^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение в выражение для производной:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -2 \cdot 2 = -4$.
Ответ: $-4$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x}{1+e^x}$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = 1+e^x$. Их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = e^x$.
Применяем правило:
$f'(x) = \frac{(x)'(1+e^x) - x(1+e^x)'}{(1+e^x)^2} = \frac{1 \cdot (1+e^x) - x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{1+e^x-xe^x}{(1+e^x)^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1+e^0-0 \cdot e^0}{(1+e^0)^2}$.
Поскольку $e^0 = 1$, получаем:
$f'(0) = \frac{1+1-0 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.