Страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

236. Построить график функции $y = f(x)$ и выяснить, является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой:

1) $f(x) = \begin{cases} 3x - 4 \text{ при } x \neq 3, \\ 2 \text{ при } x = 3; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 5 - 2x \text{ при } x \neq 1, \\ -1 \text{ при } x = 1; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} \text{ при } x \geq 0, \\ x \text{ при } x < 0; \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} |x - 1| \text{ при } x < -1, \\ x^2 \text{ при } x \geq -1. \end{cases}$

1) $f(x) = \begin{cases} 3x - 4 & \text{при } x \ne 3, \\ 2 & \text{при } x = 3. \end{cases}$
Построение графика:
График функции состоит из двух частей.
1. Для всех $x$, кроме $x=3$, график совпадает с графиком линейной функции $y = 3x - 4$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки, например, при $x=0$, $y=3(0)-4=-4$, точка $(0, -4)$; при $x=2$, $y=3(2)-4=2$, точка $(2, 2)$.
2. В точке $x=3$ значение функции $y=3x-4$ было бы равно $3(3)-4=5$. Так как в этой точке функция задана другой формулой, на прямой $y=3x-4$ в точке $(3, 5)$ будет "выколотая" точка (разрыв), которая обозначается пустым кружком.
3. При $x=3$ значение функции равно $f(3)=2$. Это отдельная точка с координатами $(3, 2)$, которая обозначается закрашенным кружком.
Итак, график представляет собой прямую $y = 3x - 4$ с выколотой точкой $(3, 5)$ и отдельной точкой $(3, 2)$.
Проверка на непрерывность:
Функция $y=3x-4$ непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому данная функция $f(x)$ непрерывна везде, кроме, возможно, точки $x=3$. Проверим непрерывность в точке $x=3$, используя определение непрерывности: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
1. Найдем значение функции в точке: $f(3) = 2$.
2. Найдем предел функции при $x \to 3$. При $x \to 3$, $x \ne 3$, поэтому $f(x)=3x-4$.
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (3x-4) = 3 \cdot 3 - 4 = 5$.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке: $f(3) = 2$, а $\lim_{x \to 3} f(x) = 5$.
Поскольку $f(3) \ne \lim_{x \to 3} f(x)$, функция имеет разрыв (устранимый) в точке $x=3$ и, следовательно, не является непрерывной на всей числовой прямой.
Ответ: Функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

2) $f(x) = \begin{cases} 5 - 2x & \text{при } x \ne 1, \\ -1 & \text{при } x = 1. \end{cases}$
Построение графика:
График функции аналогичен предыдущему случаю.
1. Для всех $x \ne 1$, график совпадает с графиком линейной функции $y = 5 - 2x$. Это прямая. Для построения найдем две точки: при $x=0$, $y=5$, точка $(0, 5)$; при $x=2$, $y=5-4=1$, точка $(2, 1)$.
2. В точке $x=1$ на этой прямой будет выколотая точка, так как $y = 5 - 2(1) = 3$. Координаты выколотой точки — $(1, 3)$.
3. При $x=1$ значение функции равно $f(1)=-1$. Это отдельная точка с координатами $(1, -1)$.
График представляет собой прямую $y = 5 - 2x$ с выколотой точкой $(1, 3)$ и отдельной точкой $(1, -1)$.
Проверка на непрерывность:
Проверим непрерывность в точке $x=1$.
1. Значение функции: $f(1) = -1$.
2. Предел функции: $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (5-2x) = 5 - 2 \cdot 1 = 3$.
3. Сравнение: $f(1) = -1$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$.
Так как $f(1) \ne \lim_{x \to 1} f(x)$, функция имеет устранимый разрыв в точке $x=1$.
Ответ: Функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

3) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{при } x \ge 0, \\ x & \text{при } x < 0. \end{cases}$
Построение графика:
График состоит из двух частей, "склеенных" в точке $x=0$.
1. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и проходящая через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. При $x < 0$ график совпадает с графиком $y=x$. Это часть прямой (луч), проходящая через точки $(-1, -1)$, $(-2, -2)$ и заканчивающаяся в точке $(0, 0)$ (которая не включается в этот интервал).
Графики "стыкуются" в точке $(0, 0)$.
Проверка на непрерывность:
Функции $y=\sqrt{x}$ (при $x \ge 0$) и $y=x$ (при $x < 0$) непрерывны в своих областях определения. Единственная точка, где может быть разрыв — это точка "стыка" $x=0$. Проверим непрерывность в этой точке.
1. Значение функции: $f(0) = \sqrt{0} = 0$.
2. Найдем левый и правый пределы.
Левый предел (при $x \to 0^-$ используется формула $f(x)=x$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$.
Правый предел (при $x \to 0^+$ используется формула $f(x)=\sqrt{x}$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.
Так как левый и правый пределы равны, то $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
3. Сравнение: $f(0) = 0$ и $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
Поскольку $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$, функция непрерывна в точке $x=0$. Так как она непрерывна и во всех остальных точках, она непрерывна на всей числовой прямой.
Ответ: Функция является непрерывной на всей числовой прямой.

4) $f(x) = \begin{cases} |x-1| & \text{при } x < -1, \\ x^2 & \text{при } x \ge -1. \end{cases}$
Построение графика:
График состоит из двух частей, с границей в точке $x=-1$.
1. При $x \ge -1$ график совпадает с графиком $y=x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Она начинается в точке $x=-1$, где $y=(-1)^2=1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. Другие точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.
2. При $x < -1$ график совпадает с графиком $y=|x-1|$. Поскольку для всех $x < -1$ выражение $x-1$ отрицательно, то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Таким образом, на этом интервале мы строим график прямой $y=1-x$. Это луч, который заканчивается в точке $x=-1$. Найдем предельную точку: при $x \to -1$, $y \to 1-(-1)=2$. Таким образом, луч подходит к точке $(-1, 2)$, которая является выколотой. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, $x=-2$, тогда $y=1-(-2)=3$.
График состоит из луча, идущего из точки $(-1,2)$ через $(-2,3)$, и части параболы, начинающейся в точке $(-1,1)$.
Проверка на непрерывность:
Проверим непрерывность в точке $x=-1$.
1. Значение функции: $f(-1) = (-1)^2 = 1$.
2. Найдем односторонние пределы.
Левый предел (при $x \to -1^-$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} |x-1| = |-1-1| = |-2| = 2$.
Правый предел (при $x \to -1^+$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1$.
Так как левый предел ($2$) не равен правому пределу ($1$), общий предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв (скачок) в точке $x=-1$.
Ответ: Функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

Найти производную функции (237–241).

237. 1) $2x^4 - x^3 + 3x + 4$;

2) $-x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1$;

3) $6\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}$;

4) $\frac{2}{x^3} - 8\sqrt[4]{x}$;

5) $(2x + 3)^8$;

6) $(4 - 3x)^7$;

7) $\sqrt[3]{3x - 2}$;

8) $\frac{1}{\sqrt{1 - 4x}}$;

9) $\sin 0,5x$;

10) $\cos(-3x)$.

1) Для нахождения производной функции $y = 2x^4 - x^3 + 3x + 4$ используем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.
$y' = (2x^4 - x^3 + 3x + 4)' = (2x^4)' - (x^3)' + (3x)' + (4)' = 2 \cdot 4x^{4-1} - 3x^{3-1} + 3 \cdot 1 - 0 = 8x^3 - 3x^2 + 3$.
Ответ: $8x^3 - 3x^2 + 3$.

2) Для функции $y = -x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1$ применяем те же правила, что и в предыдущем пункте.
$y' = (-x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1)' = (-x^5)' + (2x^3)' - (3x^2)' - (1)' = -5x^{5-1} + 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} - 0 = -5x^4 + 6x^2 - 6x$.
Ответ: $-5x^4 + 6x^2 - 6x$.

3) Для функции $y = 6\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}$ сначала представим ее в виде степенных функций: $y = 6x^{1/3} + x^{-2}$.
Теперь находим производную по правилу для степенной функции:
$y' = (6x^{1/3} + x^{-2})' = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} + (-2)x^{-2-1} = 2x^{-2/3} - 2x^{-3}$.
Возвращаемся к исходной форме записи: $y' = \frac{2}{x^{2/3}} - \frac{2}{x^3} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3}$.
Ответ: $\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3}$.

4) Функцию $y = \frac{2}{x^3} - 8\sqrt[4]{x}$ также представим в виде степенных функций: $y = 2x^{-3} - 8x^{1/4}$.
Находим производную:
$y' = (2x^{-3} - 8x^{1/4})' = 2 \cdot (-3)x^{-3-1} - 8 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = -6x^{-4} - 2x^{-3/4}$.
Преобразуем к исходному виду: $y' = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{x^{3/4}} = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.
Ответ: $-\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.

5) Для нахождения производной сложной функции $y = (2x + 3)^8$ используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Здесь внешняя функция $f(u)=u^8$, а внутренняя $g(x)=2x+3$.
$y' = 8(2x+3)^{8-1} \cdot (2x+3)' = 8(2x+3)^7 \cdot 2 = 16(2x+3)^7$.
Ответ: $16(2x+3)^7$.

6) Для функции $y = (4 - 3x)^7$ также применяем цепное правило.
Внешняя функция $f(u)=u^7$, внутренняя $g(x)=4-3x$.
$y' = 7(4-3x)^{7-1} \cdot (4-3x)' = 7(4-3x)^6 \cdot (-3) = -21(4-3x)^6$.
Ответ: $-21(4-3x)^6$.

7) Функцию $y = \sqrt[3]{3x - 2}$ представим как $y = (3x-2)^{1/3}$ и используем цепное правило.
Внешняя функция $f(u)=u^{1/3}$, внутренняя $g(x)=3x-2$.
$y' = \frac{1}{3}(3x-2)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (3x-2)' = \frac{1}{3}(3x-2)^{-2/3} \cdot 3 = (3x-2)^{-2/3} = \frac{1}{(3x-2)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}}$.

8) Функцию $y = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ представим как $y = (1-4x)^{-1/2}$ и используем цепное правило.
Внешняя функция $f(u)=u^{-1/2}$, внутренняя $g(x)=1-4x$.
$y' = -\frac{1}{2}(1-4x)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (1-4x)' = -\frac{1}{2}(1-4x)^{-3/2} \cdot (-4) = 2(1-4x)^{-3/2} = \frac{2}{(1-4x)^{3/2}} = \frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}}$.
Ответ: $\frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}}$.

9) Для функции $y = \sin(0.5x)$ применяем цепное правило для тригонометрических функций: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.
$y' = (\sin(0.5x))' = \cos(0.5x) \cdot (0.5x)' = \cos(0.5x) \cdot 0.5 = 0.5\cos(0.5x)$.
Ответ: $0.5\cos(0.5x)$.

10) Для функции $y = \cos(-3x)$ сначала воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Получаем $y = \cos(3x)$.
Затем применяем цепное правило: $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.
$y' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.
Ответ: $-3\sin(3x)$.

238. 1) $e^x - \sin x;$

2) $\cos x - \operatorname{tg} x;$

3) $\operatorname{ctg} x - \sqrt[3]{x};$

4) $6x^4 - 9e^x;$

5) $\frac{5}{x} + 4e^x;$

6) $\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln x.$

1) Чтобы найти производную функции $y = e^x - \sin x$, мы используем правило дифференцирования разности, которое гласит, что производная разности двух функций равна разности их производных: $(u - v)' = u' - v'$.
В данном случае $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные каждой функции, используя таблицу производных элементарных функций:
Производная показательной функции $(e^x)' = e^x$.
Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу:
$y' = (e^x - \sin x)' = (e^x)' - (\sin x)' = e^x - \cos x$.
Ответ: $e^x - \cos x$

2) Для функции $y = \cos x - \tg x$ также применяем правило дифференцирования разности: $(u - v)' = u' - v'$.
Здесь $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \tg x$.
Находим производные этих функций:
Производная косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.
Производная тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Подставляем эти производные в формулу разности:
$y' = (\cos x - \tg x)' = (\cos x)' - (\tg x)' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $-\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

3) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{ctg} x - \sqrt[3]{x}$ снова используем правило дифференцирования разности.
Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Функция примет вид $y = \operatorname{ctg} x - x^{\frac{1}{3}}$.
Применяем правило $(u-v)' = u' - v'$.
Находим производную котангенса: $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Находим производную степенной функции $x^{\frac{1}{3}}$ по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Теперь вычитаем вторую производную из первой:
$y' = (\operatorname{ctg} x - x^{\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $-\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

4) Для нахождения производной функции $y = 6x^4 - 9e^x$ используем правило дифференцирования разности и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
$y' = (6x^4 - 9e^x)' = (6x^4)' - (9e^x)' = 6(x^4)' - 9(e^x)'$.
Находим производные функций $x^4$ и $e^x$:
По формуле степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ получаем $(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Производная показательной функции $(e^x)' = e^x$.
Подставляем найденные производные в выражение:
$y' = 6 \cdot (4x^3) - 9 \cdot e^x = 24x^3 - 9e^x$.
Ответ: $24x^3 - 9e^x$

5) Для нахождения производной функции $y = \frac{5}{x} + 4e^x$ используем правило дифференцирования суммы $(u+v)'=u'+v'$ и правило вынесения константы.
Представим дробь $\frac{5}{x}$ в виде степенной функции: $5x^{-1}$.
Тогда $y = 5x^{-1} + 4e^x$.
$y' = (5x^{-1} + 4e^x)' = (5x^{-1})' + (4e^x)' = 5(x^{-1})' + 4(e^x)'$.
Находим производные:
$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
$(e^x)' = e^x$.
Подставляем производные в выражение:
$y' = 5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + 4 \cdot e^x = -\frac{5}{x^2} + 4e^x$.
Ответ: $4e^x - \frac{5}{x^2}$

6) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln x$ используем правило дифференцирования суммы и вынесения константы.
Представим дробь $\frac{1}{3x^3}$ в виде $\frac{1}{3}x^{-3}$.
Тогда $y = \frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln x$.
$y' = \left(\frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln x\right)' = \left(\frac{1}{3}x^{-3}\right)' + \left(\frac{1}{2}\ln x\right)' = \frac{1}{3}(x^{-3})' + \frac{1}{2}(\ln x)'$.
Находим производные:
$(x^{-3})' = -3 \cdot x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем производные в выражение:
$y' = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{x^4}\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$.
Ответ: $\frac{1}{2x} - \frac{1}{x^4}$

239. 1) $\sin 5x + \cos(2x-3)$;

2) $e^{2x} - \ln 3x$;

3) $\sin(x-3) - \ln(1-2x)$;

4) $6\sin\frac{2x}{3} - e^{1-3x}$.

1) Найдем производную функции $y = \sin 5x + \cos(2x - 3)$.

Производная суммы функций равна сумме производных:

$y' = (\sin 5x + \cos(2x - 3))' = (\sin 5x)' + (\cos(2x - 3))'$

Для нахождения производных каждого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и таблицу производных.

Производная первого слагаемого $(\sin 5x)'$:

Здесь внешняя функция $f(u) = \sin u$ ($f'(u) = \cos u$), а внутренняя $g(x) = 5x$ ($g'(x) = 5$).

$(\sin 5x)' = \cos(5x) \cdot (5x)' = \cos(5x) \cdot 5 = 5\cos 5x$.

Производная второго слагаемого $(\cos(2x - 3))'$:

Здесь внешняя функция $f(u) = \cos u$ ($f'(u) = -\sin u$), а внутренняя $g(x) = 2x - 3$ ($g'(x) = 2$).

$(\cos(2x - 3))' = -\sin(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = -\sin(2x - 3) \cdot 2 = -2\sin(2x - 3)$.

Складываем полученные производные:

$y' = 5\cos 5x - 2\sin(2x - 3)$.

Ответ: $5\cos 5x - 2\sin(2x - 3)$.

2) Найдем производную функции $y = e^{2x} - \ln 3x$.

Производная разности функций равна разности производных:

$y' = (e^{2x} - \ln 3x)' = (e^{2x})' - (\ln 3x)'$

Находим производную первого члена $(e^{2x})'$:

Внешняя функция $f(u) = e^u$ ($f'(u) = e^u$), внутренняя $g(x) = 2x$ ($g'(x) = 2$).

$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

Находим производную второго члена $(\ln 3x)'$:

Внешняя функция $f(u) = \ln u$ ($f'(u) = \frac{1}{u}$), внутренняя $g(x) = 3x$ ($g'(x) = 3$).

$(\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$.

Объединяем результаты:

$y' = 2e^{2x} - \frac{1}{x}$.

Ответ: $2e^{2x} - \frac{1}{x}$.

3) Найдем производную функции $y = \sin(x - 3) - \ln(1 - 2x)$.

Производная разности функций равна разности производных:

$y' = (\sin(x - 3))' - (\ln(1 - 2x))'$

Находим производную первого члена $(\sin(x - 3))'$:

Внешняя функция $f(u) = \sin u$ ($f'(u) = \cos u$), внутренняя $g(x) = x - 3$ ($g'(x) = 1$).

$(\sin(x - 3))' = \cos(x - 3) \cdot (x - 3)' = \cos(x - 3) \cdot 1 = \cos(x - 3)$.

Находим производную второго члена $(\ln(1 - 2x))'$:

Внешняя функция $f(u) = \ln u$ ($f'(u) = \frac{1}{u}$), внутренняя $g(x) = 1 - 2x$ ($g'(x) = -2$).

$(\ln(1 - 2x))' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (1 - 2x)' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{1 - 2x} = \frac{2}{2x - 1}$.

Объединяем результаты:

$y' = \cos(x - 3) - \left(-\frac{2}{1 - 2x}\right) = \cos(x - 3) + \frac{2}{1 - 2x}$.

Ответ: $\cos(x - 3) + \frac{2}{1 - 2x}$.

4) Найдем производную функции $y = 6\sin\frac{2x}{3} \cdot e^{1-3x}$.

Эта функция является произведением двух функций $u(x) = 6\sin\frac{2x}{3}$ и $v(x) = e^{1-3x}$.

Применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производную $u'(x)$:

$u'(x) = \left(6\sin\frac{2x}{3}\right)' = 6 \cdot \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)' = 6 \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \frac{2}{3} = 4\cos\frac{2x}{3}$.

Теперь найдем производную $v'(x)$:

$v'(x) = \left(e^{1-3x}\right)' = e^{1-3x} \cdot (1-3x)' = e^{1-3x} \cdot (-3) = -3e^{1-3x}$.

Подставляем найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \left(4\cos\frac{2x}{3}\right) \cdot e^{1-3x} + \left(6\sin\frac{2x}{3}\right) \cdot (-3e^{1-3x})$.

$y' = 4e^{1-3x}\cos\frac{2x}{3} - 18e^{1-3x}\sin\frac{2x}{3}$.

Можно вынести общий множитель $2e^{1-3x}$ за скобки для упрощения вида ответа:

$y' = 2e^{1-3x} \left(2\cos\frac{2x}{3} - 9\sin\frac{2x}{3}\right)$.

Ответ: $4e^{1-3x}\cos\frac{2x}{3} - 18e^{1-3x}\sin\frac{2x}{3}$.

240. 1) $x^2 \cos x$;

2) $x^3 \ln x$;

3) $5x \operatorname{ctg} x$;

4) $\sin 2x \operatorname{tg} x$;

5) $e^{-x} \sin x$;

6) $e^x \cos x$.

1) $x^2 \cos x$

Для нахождения производной функции $y = x^2 \cos x$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \cos x$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставляем найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = (x^2 \cos x)' = (x^2)' \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)' = 2x \cos x + x^2(-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x$.

Ответ: $2x \cos x - x^2 \sin x$.

2) $x^3 \ln x$

Для нахождения производной функции $y = x^3 \ln x$ используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln x$.

Находим их производные:

$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Подставляем в формулу:

$y' = (x^3 \ln x)' = (x^3)' \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$.

Можно вынести общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(3 \ln x + 1)$.

Ответ: $3x^2 \ln x + x^2$.

3) $5x \operatorname{ctg} x$

Для нахождения производной функции $y = 5x \operatorname{ctg} x$ применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 5x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.

Находим производные:

$u'(x) = (5x)' = 5$

$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = (5x \operatorname{ctg} x)' = (5x)' \cdot \operatorname{ctg} x + 5x \cdot (\operatorname{ctg} x)' = 5 \operatorname{ctg} x + 5x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 5 \operatorname{ctg} x - \frac{5x}{\sin^2 x}$.

Ответ: $5 \operatorname{ctg} x - \frac{5x}{\sin^2 x}$.

4) $\sin 2x \operatorname{tg} x$

Для нахождения производной функции $y = \sin 2x \operatorname{tg} x$ сначала упростим выражение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

$y = (2 \sin x \cos x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin^2 x$.

Теперь найдем производную от упрощенной функции $y = 2 \sin^2 x$. Используем правило производной сложной функции (цепное правило).

$y' = (2 \sin^2 x)' = 2 \cdot 2 \sin^{2-1} x \cdot (\sin x)' = 4 \sin x \cos x$.

Используя снова формулу синуса двойного угла, получаем:

$4 \sin x \cos x = 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin 2x$.

Ответ: $2 \sin 2x$.

5) $e^{-x} \sin x$

Для нахождения производной функции $y = e^{-x} \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = \sin x$.

Находим производные. Для $u(x)$ используем цепное правило:

$u'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:

$y' = (e^{-x} \sin x)' = (-e^{-x}) \cdot \sin x + e^{-x} \cdot \cos x = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x$.

Вынесем общий множитель $e^{-x}$:

$y' = e^{-x}(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $e^{-x}(\cos x - \sin x)$.

6) $e^x \cos x$

Для нахождения производной функции $y = e^x \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Находим их производные:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = (e^x \cos x)' = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x$.

Вынесем общий множитель $e^x$:

$y' = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $e^x(\cos x - \sin x)$.

241.1) $\frac{x^3+1}{x^2+2}$;

2) $\frac{x^2}{x^3+1}$;

3) $\frac{\sin x}{x+1}$;

4) $\frac{\ln x}{1-x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 2}$ используется правило дифференцирования частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае, $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = x^2 + 2$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$
$v'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$
Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(3x^2)(x^2 + 2) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$y' = \frac{3x^4 + 6x^2 - (2x^4 + 2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{3x^4 + 6x^2 - 2x^4 - 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2}$
Ответ: $y' = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2}{x^3 + 1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^3 + 1$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x)(x^3 + 1) - (x^2)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{2x^4 + 2x - 3x^4}{(x^3 + 1)^2} = \frac{2x - x^4}{(x^3 + 1)^2}$
Ответ: $y' = \frac{2x - x^4}{(x^3 + 1)^2}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sin x}{x + 1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x + 1$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$v'(x) = (x + 1)' = 1$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(\cos x)(x + 1) - (\sin x)(1)}{(x + 1)^2}$
Упростим выражение в числителе:
$y' = \frac{(x + 1)\cos x - \sin x}{(x + 1)^2}$
Ответ: $y' = \frac{(x + 1)\cos x - \sin x}{(x + 1)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{\ln x}{1 - x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = 1 - x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
$v'(x) = (1 - x)' = -1$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(\frac{1}{x})(1 - x) - (\ln x)(-1)}{(1 - x)^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{\frac{1-x}{x} + \ln x}{(1 - x)^2}$
Чтобы упростить дробь, приведём слагаемые в числителе к общему знаменателю $x$:
$y' = \frac{\frac{1-x + x\ln x}{x}}{(1 - x)^2} = \frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}$
Ответ: $y' = \frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}$.

242. Найти значения x, при которых значение производной функции $f(x)$ равно 0; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4;$

2) $f(x) = (x+3)^3(x-4)^2;$

3) $f(x) = \frac{3x+1}{x-2};$

4) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}.$

Для каждой функции найдем ее производную $f'(x)$ и определим знаки производной.

Сначала найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (-3x^3 + 2x^2 + 4)' = -3 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = -9x^2 + 4x$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$-9x^2 + 4x = 0$
$x(-9x + 4) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $-9x + 4 = 0 \implies 9x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{9}$.

Далее определим, при каких $x$ производная положительна ($f'(x) > 0$):
$-9x^2 + 4x > 0$
$x(4 - 9x) > 0$
Это квадратичное неравенство. График функции $y = -9x^2 + 4x$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Значения функции положительны между корнями $0$ и $\frac{4}{9}$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \in (0; \frac{4}{9})$.

И определим, при каких $x$ производная отрицательна ($f'(x) < 0$):
$-9x^2 + 4x < 0$
Значения функции $y = -9x^2 + 4x$ отрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{9}; +\infty)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=0$ и $x=\frac{4}{9}$; производная положительна при $x \in (0; \frac{4}{9})$; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{9}; +\infty)$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x+3)^3)'(x-4)^2 + (x+3)^3((x-4)^2)'$
$f'(x) = 3(x+3)^2(x+3)'(x-4)^2 + (x+3)^3 \cdot 2(x-4)(x-4)'$
$f'(x) = 3(x+3)^2(x-4)^2 + 2(x+3)^3(x-4)$
Вынесем общий множитель $(x+3)^2(x-4)$ за скобки:
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3(x-4) + 2(x+3)]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3x - 12 + 2x + 6]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4)(5x - 6)$

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$(x+3)^2(x-4)(5x-6) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$, $x_3 = \frac{6}{5}$.

Для определения знаков производной используем метод интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=-3$, $x=\frac{6}{5}$ и $x=4$.
Множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака производной (при переходе через точку $x=-3$ знак не меняется). Знак $f'(x)$ зависит от знаков множителей $(x-4)$ и $(5x-6)$.
- При $x > 4$: все множители положительны, $f'(x) > 0$. - При $\frac{6}{5} < x < 4$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) > 0$, значит $f'(x) < 0$. - При $-3 < x < \frac{6}{5}$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) < 0$, значит $f'(x) > 0$. - При $x < -3$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) < 0$, значит $f'(x) > 0$.

Итак, $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{6}{5}) \cup (4; +\infty)$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (\frac{6}{5}; 4)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=-3$, $x=\frac{6}{5}$, $x=4$; производная положительна при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{6}{5}) \cup (4; +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (\frac{6}{5}; 4)$.

Область определения функции: $x \neq 2$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(3x+1)'(x-2) - (3x+1)(x-2)'}{(x-2)^2}$
$f'(x) = \frac{3(x-2) - (3x+1) \cdot 1}{(x-2)^2}$
$f'(x) = \frac{3x - 6 - 3x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2}$

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$\frac{-7}{(x-2)^2} = 0$
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби равен -7 и не равен нулю.

Определим знак производной.
$f'(x) = \frac{-7}{(x-2)^2}$
Числитель дроби (-7) всегда отрицателен. Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен при любом $x$ из области определения ($x \neq 2$).
Следовательно, $f'(x)$ всегда отрицательна для всех $x \neq 2$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Нет значений $x$, при которых $f'(x) > 0$.

Ответ: производная ни при каких $x$ не равна 0; производная ни при каких $x$ не положительна; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x \cdot x^2 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$.

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$\frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$2(x^3 - 1) = 0 \implies x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Определим знаки производной. Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Значит, знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $2(x^3 - 1)$, или, что то же самое, со знаком $(x^3 - 1)$.
- $f'(x) > 0$ когда $x^3 - 1 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1$. - $f'(x) < 0$ когда $x^3 - 1 < 0 \implies x^3 < 1 \implies x < 1$.
Учитывая область определения ($x \neq 0$), получаем:
$f'(x) > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=1$; производная положительна при $x \in (1; +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.

243. Найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \cos x \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = e^x \ln x, x_0 = 1$;

3) $f(x) = \frac{2\cos x}{\sin x}, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

4) $f(x) = \frac{x}{1+e^x}, x_0 = 0.$

1) Дана функция $f(x) = \cos x \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
Для нахождения производной $f'(x)$ сначала упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Из этой формулы следует, что $\cos x \sin x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Таким образом, $f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.
Теперь необходимо найти значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Подставим это значение в полученное выражение для производной:
$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$.
Следовательно, $f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = e^x \ln x$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
В нашем случае $u(x) = e^x$ и $v(x) = \ln x$. Их производные равны $u'(x) = e^x$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.
Тогда производная функции $f(x)$ будет:
$f'(x) = (e^x)' \ln x + e^x (\ln x)' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x(\ln x + \frac{1}{x})$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = e^1(\ln 1 + \frac{1}{1})$.
Так как $\ln 1 = 0$ и $e^1 = e$, получаем:
$f'(1) = e(0 + 1) = e \cdot 1 = e$.
Ответ: $e$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{2\cos x}{\sin x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Упростим функцию, используя определение котангенса: $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$f(x) = 2\cot x$.
Найдем производную функции $f(x)$. Производная котангенса: $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$f'(x) = (2\cot x)' = 2 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2}{\sin^2 x}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}$.
Знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда $\sin^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение в выражение для производной:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -2 \cdot 2 = -4$.
Ответ: $-4$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x}{1+e^x}$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = 1+e^x$. Их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = e^x$.
Применяем правило:
$f'(x) = \frac{(x)'(1+e^x) - x(1+e^x)'}{(1+e^x)^2} = \frac{1 \cdot (1+e^x) - x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{1+e^x-xe^x}{(1+e^x)^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1+e^0-0 \cdot e^0}{(1+e^0)^2}$.
Поскольку $e^0 = 1$, получаем:
$f'(0) = \frac{1+1-0 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.