Номер 241, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 241, страница 98.

Условие.

241.1) $\frac{x^3+1}{x^2+2}$;

2) $\frac{x^2}{x^3+1}$;

3) $\frac{\sin x}{x+1}$;

4) $\frac{\ln x}{1-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 2}$ используется правило дифференцирования частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае, $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = x^2 + 2$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$
$v'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$
Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(3x^2)(x^2 + 2) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$y' = \frac{3x^4 + 6x^2 - (2x^4 + 2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{3x^4 + 6x^2 - 2x^4 - 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2}$
Ответ: $y' = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2}{x^3 + 1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^3 + 1$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x)(x^3 + 1) - (x^2)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{2x^4 + 2x - 3x^4}{(x^3 + 1)^2} = \frac{2x - x^4}{(x^3 + 1)^2}$
Ответ: $y' = \frac{2x - x^4}{(x^3 + 1)^2}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sin x}{x + 1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x + 1$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$v'(x) = (x + 1)' = 1$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(\cos x)(x + 1) - (\sin x)(1)}{(x + 1)^2}$
Упростим выражение в числителе:
$y' = \frac{(x + 1)\cos x - \sin x}{(x + 1)^2}$
Ответ: $y' = \frac{(x + 1)\cos x - \sin x}{(x + 1)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{\ln x}{1 - x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = 1 - x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
$v'(x) = (1 - x)' = -1$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(\frac{1}{x})(1 - x) - (\ln x)(-1)}{(1 - x)^2}$
Упростим числитель:
$y' = \frac{\frac{1-x}{x} + \ln x}{(1 - x)^2}$
Чтобы упростить дробь, приведём слагаемые в числителе к общему знаменателю $x$:
$y' = \frac{\frac{1-x + x\ln x}{x}}{(1 - x)^2} = \frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}$
Ответ: $y' = \frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}$.