Номер 247, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 247, страница 99.

Условие.

247.1)
$\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}$;

2) $\frac{\sqrt{x+4}}{4x}$;

3) $\frac{x}{\sqrt{x+3}}$;

4) $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения области определения функции $y = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}$ необходимо, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю.
Запишем это условие:
$1 + \cos 2x \neq 0$
$\cos 2x \neq -1$
Это условие нарушается, когда $\cos 2x = -1$. Решим это тригонометрическое уравнение.
$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением точек вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Ответ: Все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{x + 4}}{4x}$ должны одновременно выполняться два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как корень определён только для неотрицательных чисел.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы:
$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 4x \neq 0 \end{cases}$
Решим каждое из них:
1. $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.
2. $4x \neq 0 \implies x \neq 0$.
Объединяя решения, получаем, что $x$ должен быть в промежутке $[-4, +\infty)$, но при этом $x$ не должен быть равен 0.
Это можно записать в виде объединения интервалов.

Ответ: $x \in [-4, 0) \cup (0, +\infty)$.

3) Для нахождения области определения функции $y = \frac{x}{\sqrt{x + 3}}$ необходимо, чтобы выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, было строго положительным.
Это требование объединяет два условия:
1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $x + 3 \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x+3} \neq 0$, что эквивалентно $x+3 \neq 0$.
Объединяя эти два условия, получаем одно строгое неравенство:
$x + 3 > 0$
Решим это неравенство:
$x > -3$
Таким образом, область определения функции — это все числа, строго большие -3.

Ответ: $x \in (-3, +\infty)$.

4) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$ необходимо, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю.
Запишем это условие:
$\sin x - \cos x \neq 0$
Это эквивалентно тому, что $\sin x \neq \cos x$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:
$\sin x - \cos x = 0$
$\sin x = \cos x$
Заметим, что в точках, где $\cos x = 0$, $\sin x = \pm 1$, поэтому равенство $\sin x = \cos x$ невозможно. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x \neq 0$.
$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$
$\tan x = 1$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.

Ответ: Все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.