Номер 242, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 242, страница 98.

№242 (с. 98)
Условие. №242 (с. 98)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 98, номер 242, Условие

242. Найти значения x, при которых значение производной функции $f(x)$ равно 0; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4;$

2) $f(x) = (x+3)^3(x-4)^2;$

3) $f(x) = \frac{3x+1}{x-2};$

4) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}.$

Решение 1. №242 (с. 98)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 98, номер 242, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 98, номер 242, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 98, номер 242, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 98, номер 242, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №242 (с. 98)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 98, номер 242, Решение 2
Решение 3. №242 (с. 98)

Для каждой функции найдем ее производную $f'(x)$ и определим знаки производной.

1) $f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4$

Сначала найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (-3x^3 + 2x^2 + 4)' = -3 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = -9x^2 + 4x$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$-9x^2 + 4x = 0$
$x(-9x + 4) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $-9x + 4 = 0 \implies 9x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{9}$.

Далее определим, при каких $x$ производная положительна ($f'(x) > 0$):
$-9x^2 + 4x > 0$
$x(4 - 9x) > 0$
Это квадратичное неравенство. График функции $y = -9x^2 + 4x$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Значения функции положительны между корнями $0$ и $\frac{4}{9}$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \in (0; \frac{4}{9})$.

И определим, при каких $x$ производная отрицательна ($f'(x) < 0$):
$-9x^2 + 4x < 0$
Значения функции $y = -9x^2 + 4x$ отрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{9}; +\infty)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=0$ и $x=\frac{4}{9}$; производная положительна при $x \in (0; \frac{4}{9})$; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{9}; +\infty)$.

2) $f(x) = (x+3)^3(x-4)^2$

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x+3)^3)'(x-4)^2 + (x+3)^3((x-4)^2)'$
$f'(x) = 3(x+3)^2(x+3)'(x-4)^2 + (x+3)^3 \cdot 2(x-4)(x-4)'$
$f'(x) = 3(x+3)^2(x-4)^2 + 2(x+3)^3(x-4)$
Вынесем общий множитель $(x+3)^2(x-4)$ за скобки:
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3(x-4) + 2(x+3)]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3x - 12 + 2x + 6]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4)(5x - 6)$

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$(x+3)^2(x-4)(5x-6) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$, $x_3 = \frac{6}{5}$.

Для определения знаков производной используем метод интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=-3$, $x=\frac{6}{5}$ и $x=4$.
Множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака производной (при переходе через точку $x=-3$ знак не меняется). Знак $f'(x)$ зависит от знаков множителей $(x-4)$ и $(5x-6)$.
- При $x > 4$: все множители положительны, $f'(x) > 0$. - При $\frac{6}{5} < x < 4$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) > 0$, значит $f'(x) < 0$. - При $-3 < x < \frac{6}{5}$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) < 0$, значит $f'(x) > 0$. - При $x < -3$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) < 0$, значит $f'(x) > 0$.

Итак, $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{6}{5}) \cup (4; +\infty)$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (\frac{6}{5}; 4)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=-3$, $x=\frac{6}{5}$, $x=4$; производная положительна при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{6}{5}) \cup (4; +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (\frac{6}{5}; 4)$.

3) $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$

Область определения функции: $x \neq 2$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(3x+1)'(x-2) - (3x+1)(x-2)'}{(x-2)^2}$
$f'(x) = \frac{3(x-2) - (3x+1) \cdot 1}{(x-2)^2}$
$f'(x) = \frac{3x - 6 - 3x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2}$

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$\frac{-7}{(x-2)^2} = 0$
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби равен -7 и не равен нулю.

Определим знак производной.
$f'(x) = \frac{-7}{(x-2)^2}$
Числитель дроби (-7) всегда отрицателен. Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен при любом $x$ из области определения ($x \neq 2$).
Следовательно, $f'(x)$ всегда отрицательна для всех $x \neq 2$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Нет значений $x$, при которых $f'(x) > 0$.

Ответ: производная ни при каких $x$ не равна 0; производная ни при каких $x$ не положительна; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

4) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x \cdot x^2 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$.

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$\frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$2(x^3 - 1) = 0 \implies x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Определим знаки производной. Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Значит, знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $2(x^3 - 1)$, или, что то же самое, со знаком $(x^3 - 1)$.
- $f'(x) > 0$ когда $x^3 - 1 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1$. - $f'(x) < 0$ когда $x^3 - 1 < 0 \implies x^3 < 1 \implies x < 1$.
Учитывая область определения ($x \neq 0$), получаем:
$f'(x) > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=1$; производная положительна при $x \in (1; +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 242 расположенного на странице 98 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №242 (с. 98), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.