Номер 242, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 242, страница 98.

Условие.

242. Найти значения x, при которых значение производной функции $f(x)$ равно 0; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4;$

2) $f(x) = (x+3)^3(x-4)^2;$

3) $f(x) = \frac{3x+1}{x-2};$

4) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для каждой функции найдем ее производную $f'(x)$ и определим знаки производной.

1) $f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4$

Сначала найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (-3x^3 + 2x^2 + 4)' = -3 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = -9x^2 + 4x$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$-9x^2 + 4x = 0$
$x(-9x + 4) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $-9x + 4 = 0 \implies 9x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{9}$.

Далее определим, при каких $x$ производная положительна ($f'(x) > 0$):
$-9x^2 + 4x > 0$
$x(4 - 9x) > 0$
Это квадратичное неравенство. График функции $y = -9x^2 + 4x$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Значения функции положительны между корнями $0$ и $\frac{4}{9}$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \in (0; \frac{4}{9})$.

И определим, при каких $x$ производная отрицательна ($f'(x) < 0$):
$-9x^2 + 4x < 0$
Значения функции $y = -9x^2 + 4x$ отрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{9}; +\infty)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=0$ и $x=\frac{4}{9}$; производная положительна при $x \in (0; \frac{4}{9})$; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{4}{9}; +\infty)$.

2) $f(x) = (x+3)^3(x-4)^2$

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x+3)^3)'(x-4)^2 + (x+3)^3((x-4)^2)'$
$f'(x) = 3(x+3)^2(x+3)'(x-4)^2 + (x+3)^3 \cdot 2(x-4)(x-4)'$
$f'(x) = 3(x+3)^2(x-4)^2 + 2(x+3)^3(x-4)$
Вынесем общий множитель $(x+3)^2(x-4)$ за скобки:
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3(x-4) + 2(x+3)]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3x - 12 + 2x + 6]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4)(5x - 6)$

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$(x+3)^2(x-4)(5x-6) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$, $x_3 = \frac{6}{5}$.

Для определения знаков производной используем метод интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=-3$, $x=\frac{6}{5}$ и $x=4$.
Множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на смену знака производной (при переходе через точку $x=-3$ знак не меняется). Знак $f'(x)$ зависит от знаков множителей $(x-4)$ и $(5x-6)$.
- При $x > 4$: все множители положительны, $f'(x) > 0$. - При $\frac{6}{5} < x < 4$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) > 0$, значит $f'(x) < 0$. - При $-3 < x < \frac{6}{5}$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) < 0$, значит $f'(x) > 0$. - При $x < -3$: $(x-4) < 0$, $(5x-6) < 0$, значит $f'(x) > 0$.

Итак, $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{6}{5}) \cup (4; +\infty)$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (\frac{6}{5}; 4)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=-3$, $x=\frac{6}{5}$, $x=4$; производная положительна при $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{6}{5}) \cup (4; +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (\frac{6}{5}; 4)$.

3) $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$

Область определения функции: $x \neq 2$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(3x+1)'(x-2) - (3x+1)(x-2)'}{(x-2)^2}$
$f'(x) = \frac{3(x-2) - (3x+1) \cdot 1}{(x-2)^2}$
$f'(x) = \frac{3x - 6 - 3x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2}$

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$\frac{-7}{(x-2)^2} = 0$
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби равен -7 и не равен нулю.

Определим знак производной.
$f'(x) = \frac{-7}{(x-2)^2}$
Числитель дроби (-7) всегда отрицателен. Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен при любом $x$ из области определения ($x \neq 2$).
Следовательно, $f'(x)$ всегда отрицательна для всех $x \neq 2$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Нет значений $x$, при которых $f'(x) > 0$.

Ответ: производная ни при каких $x$ не равна 0; производная ни при каких $x$ не положительна; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

4) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x \cdot x^2 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$.

Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:
$\frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$2(x^3 - 1) = 0 \implies x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Определим знаки производной. Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Значит, знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $2(x^3 - 1)$, или, что то же самое, со знаком $(x^3 - 1)$.
- $f'(x) > 0$ когда $x^3 - 1 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1$. - $f'(x) < 0$ когда $x^3 - 1 < 0 \implies x^3 < 1 \implies x < 1$.
Учитывая область определения ($x \neq 0$), получаем:
$f'(x) > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.
$f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.

Ответ: производная равна 0 при $x=1$; производная положительна при $x \in (1; +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.