Номер 235, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 235, страница 97.

Условие.

235. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x)=e^{\sin^2 x + \sin x}$, $x_0=\pi$;

2) $f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}$, $x_0=1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) Дана функция $f(x) = e^{\sin^2 x + \sin x}$ и точка $x_0 = \pi$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} = e^{0^2 + 0} = e^0 = 1$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (e^{\sin^2 x + \sin x})' = e^{\sin^2 x + \sin x} \cdot (\sin^2 x + \sin x)'$.

Найдем производную от показателя степени:

$(\sin^2 x + \sin x)' = ((\sin x)^2)' + (\sin x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' + \cos x = 2\sin x \cos x + \cos x$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = e^{\sin^2 x + \sin x} (2\sin x \cos x + \cos x)$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$f'(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} (2\sin \pi \cos \pi + \cos \pi) = e^{0+0} (2 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1)) = e^0 (0 - 1) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-1)(x - \pi)$

$y = 1 - x + \pi$.

Ответ: $y = -x + \pi + 1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(1) = \frac{1}{1^2}\sin\frac{\pi \cdot 1^2}{2} = 1 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{x^2}\right)' \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{1}{x^2} \left(\sin\frac{\pi x^2}{2}\right)'$.

Вычислим производные по отдельности:

$\left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

$\left(\sin\frac{\pi x^2}{2}\right)' = \cos\frac{\pi x^2}{2} \cdot \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)' = \cos\frac{\pi x^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 2x = \pi x \cos\frac{\pi x^2}{2}$.

Подставим эти производные обратно в формулу для $f'(x)$:

$f'(x) = -\frac{2}{x^3} \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{1}{x^2} \left(\pi x \cos\frac{\pi x^2}{2}\right) = -\frac{2}{x^3} \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi}{x} \cos\frac{\pi x^2}{2}$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = -\frac{2}{1^3} \sin\frac{\pi \cdot 1^2}{2} + \frac{\pi}{1} \cos\frac{\pi \cdot 1^2}{2} = -2\sin\frac{\pi}{2} + \pi\cos\frac{\pi}{2} = -2 \cdot 1 + \pi \cdot 0 = -2$.

Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=-2$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-2)(x - 1)$

$y = 1 - 2x + 2$

$y = -2x + 3$.

Ответ: $y = -2x + 3$.