Номер 235, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 235, страница 97.
№235 (с. 97)
Условие. №235 (с. 97)
скриншот условия

235. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:
1) $f(x)=e^{\sin^2 x + \sin x}$, $x_0=\pi$;
2) $f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}$, $x_0=1$.
Решение 1. №235 (с. 97)


Решение 2. №235 (с. 97)


Решение 3. №235 (с. 97)
Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
1) Дана функция $f(x) = e^{\sin^2 x + \sin x}$ и точка $x_0 = \pi$.
Сначала найдем значение функции в этой точке:
$f(x_0) = f(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} = e^{0^2 + 0} = e^0 = 1$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
$f'(x) = (e^{\sin^2 x + \sin x})' = e^{\sin^2 x + \sin x} \cdot (\sin^2 x + \sin x)'$.
Найдем производную от показателя степени:
$(\sin^2 x + \sin x)' = ((\sin x)^2)' + (\sin x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' + \cos x = 2\sin x \cos x + \cos x$.
Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = e^{\sin^2 x + \sin x} (2\sin x \cos x + \cos x)$.
Найдем значение производной в точке $x_0 = \pi$:
$f'(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} (2\sin \pi \cos \pi + \cos \pi) = e^{0+0} (2 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1)) = e^0 (0 - 1) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = 1 + (-1)(x - \pi)$
$y = 1 - x + \pi$.
Ответ: $y = -x + \pi + 1$.
2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}$ и точка $x_0 = 1$.
Сначала найдем значение функции в этой точке:
$f(x_0) = f(1) = \frac{1}{1^2}\sin\frac{\pi \cdot 1^2}{2} = 1 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = \left(\frac{1}{x^2}\right)' \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{1}{x^2} \left(\sin\frac{\pi x^2}{2}\right)'$.
Вычислим производные по отдельности:
$\left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$\left(\sin\frac{\pi x^2}{2}\right)' = \cos\frac{\pi x^2}{2} \cdot \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)' = \cos\frac{\pi x^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 2x = \pi x \cos\frac{\pi x^2}{2}$.
Подставим эти производные обратно в формулу для $f'(x)$:
$f'(x) = -\frac{2}{x^3} \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{1}{x^2} \left(\pi x \cos\frac{\pi x^2}{2}\right) = -\frac{2}{x^3} \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi}{x} \cos\frac{\pi x^2}{2}$.
Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{2}{1^3} \sin\frac{\pi \cdot 1^2}{2} + \frac{\pi}{1} \cos\frac{\pi \cdot 1^2}{2} = -2\sin\frac{\pi}{2} + \pi\cos\frac{\pi}{2} = -2 \cdot 1 + \pi \cdot 0 = -2$.
Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=-2$ в уравнение касательной:
$y = 1 + (-2)(x - 1)$
$y = 1 - 2x + 2$
$y = -2x + 3$.
Ответ: $y = -2x + 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 235 расположенного на странице 97 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №235 (с. 97), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.