Номер 228, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 228, страница 97.

Условие.

228. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=0$, если:

1) $f(x) = x^4 + 3x^2 - 4x + 2$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$;

3) $f(x) = 2x - \sqrt{x+1}$;

4) $f(x) = x + \frac{1}{x+1}$;

5) $f(x) = e^{3x} + \cos x$;

6) $f(x) = \sin 2x - \ln(x+1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.Для всех заданий $x_0=0$, поэтому формула упрощается до $y = f(0) + f'(0)x$.

1)

Дана функция $f(x) = x^4 + 3x^2 - 4x + 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 0^4 + 3(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 + 3x^2 - 4x + 2)' = 4x^3 + 6x - 4$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4(0)^3 + 6(0) - 4 = -4$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=2$ и $f'(0)=-4$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-4)x = -4x + 2$.

Ответ: $y = -4x + 2$.

2)

Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sqrt[3]{0+1} = \sqrt[3]{1} = 1$.

2. Найдем производную функции, представив ее в виде $f(x) = (x+1)^{1/3}$:
$f'(x) = ((x+1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(x+1)^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}(x+1)^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(0+1)^2}} = \frac{1}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=\frac{1}{3}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{1}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + 1$.

3)

Дана функция $f(x) = 2x - \sqrt{x+1}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 2(0) - \sqrt{0+1} = 0 - 1 = -1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x - \sqrt{x+1})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=-1$ и $f'(0)=\frac{3}{2}$ в уравнение касательной:
$y = -1 + \frac{3}{2}x$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x - 1$.

4)

Дана функция $f(x) = x + \frac{1}{x+1}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + (x+1)^{-1})' = 1 - 1 \cdot (x+1)^{-2} = 1 - \frac{1}{(x+1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 1 - \frac{1}{(0+1)^2} = 1 - 1 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot x = 1$.

Ответ: $y = 1$.

5)

Дана функция $f(x) = e^{3x} + \cos x$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = e^{3 \cdot 0} + \cos(0) = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (e^{3x} + \cos x)' = e^{3x} \cdot 3 - \sin x = 3e^{3x} - \sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 3e^{3 \cdot 0} - \sin(0) = 3 \cdot 1 - 0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=2$ и $f'(0)=3$ в уравнение касательной:
$y = 2 + 3x$.

Ответ: $y = 3x + 2$.

6)

Дана функция $f(x) = \sin(2x) - \ln(x+1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin(2 \cdot 0) - \ln(0+1) = \sin(0) - \ln(1) = 0 - 0 = 0$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin(2x) - \ln(x+1))' = \cos(2x) \cdot 2 - \frac{1}{x+1} = 2\cos(2x) - \frac{1}{x+1}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2\cos(2 \cdot 0) - \frac{1}{0+1} = 2\cos(0) - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot x = x$.

Ответ: $y = x$.