Номер 225, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 225, страница 96.

Условие.

225. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^2, x_0 = 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3, x_0 = 1;$

3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 1;$

4) $f(x) = 2\sqrt{x}, x_0 = 3;$

5) $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}, x_0 = 1;$

6) $f(x) = \ln(2x+1), x_0 = \frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$ определяется тангенсом этого угла, который равен значению производной функции в данной точке: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения угла необходимо найти производную функции, вычислить ее значение в точке $x_0$ и затем найти арктангенс этого значения.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^2$, $x_0 = 1$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 2x = \frac{2}{3}x$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.
Угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона) равен $k = \frac{2}{3}$.
Следовательно, угол $\alpha$ равен:
$\alpha = \arctan(\frac{2}{3})$.
Ответ: $\arctan(\frac{2}{3})$.

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3$, $x_0 = 1$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = 1^2 = 1$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=1$.
$\tan(\alpha) = 1$, откуда находим угол $\alpha$ (учитывая, что угол острый, так как $k>0$):
$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = 1$

Находим производную функции, представив ее как $f(x) = x^{-1}$:
$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=-1$.
$\tan(\alpha) = -1$. Угол, образуемый с положительным направлением оси $Ox$, находится в диапазоне $[0, \pi)$. Так как тангенс отрицателен, угол тупой.
$\alpha = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

4) $f(x) = 2\sqrt{x}$, $x_0 = 3$

Находим производную функции, представив ее как $f(x) = 2x^{1/2}$:
$f'(x) = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$:
$k = f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, откуда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

5) $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}$, $x_0 = 1$

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (e^{\frac{3x+1}{2}})' = e^{\frac{3x+1}{2}} \cdot (\frac{3x+1}{2})' = e^{\frac{3x+1}{2}} \cdot \frac{3}{2}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = \frac{3}{2}e^{\frac{3 \cdot 1+1}{2}} = \frac{3}{2}e^{\frac{4}{2}} = \frac{3}{2}e^2$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=\frac{3}{2}e^2$.
Следовательно, угол $\alpha$ равен:
$\alpha = \arctan(\frac{3}{2}e^2)$.
Ответ: $\arctan(\frac{3}{2}e^2)$.

6) $f(x) = \ln(2x+1)$, $x_0 = \frac{1}{2}$

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (\ln(2x+1))' = \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:
$k = f'(\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=1$.
$\tan(\alpha) = 1$, откуда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.