Номер 219, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 219, страница 89.

Условие.

219. Вычислить $f'(x) + f(x) + 2$, если $f(x) = x\sin 2x$, $x = \pi$.

a) $y = kx + b, k > 0$

б) $y = kx + b, k < 0$

Рис. 46

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для вычисления значения выражения $f'(x) + f(x) + 2$ при заданных условиях $f(x) = x \sin(2x)$ и $x = \pi$ выполним следующие шаги:

1. Нахождение производной функции $f(x)$

Функция $f(x) = x \sin(2x)$ является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sin(2x)$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

Найдем производные от $u(x)$ и $v(x)$:

Производная от $u(x) = x$ равна $u'(x) = 1$.

Для нахождения производной от $v(x) = \sin(2x)$ применим правило дифференцирования сложной функции. Производная от $\sin(t)$ равна $\cos(t)$, а производная от внутренней функции $2x$ равна $2$.

$v'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \sin(2x) + x \cdot (2\cos(2x)) = \sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

2. Вычисление значений $f(x)$ и $f'(x)$ при $x = \pi$

Сначала вычислим значение исходной функции $f(x)$ в точке $x = \pi$:

$f(\pi) = \pi \sin(2\pi)$.

Зная, что $\sin(2\pi) = 0$, получаем:

$f(\pi) = \pi \cdot 0 = 0$.

Далее вычислим значение производной $f'(x)$ в точке $x = \pi$:

$f'(\pi) = \sin(2\pi) + 2\pi\cos(2\pi)$.

Зная, что $\sin(2\pi) = 0$ и $\cos(2\pi) = 1$, получаем:

$f'(\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.

3. Вычисление итогового выражения

Подставим вычисленные значения $f(\pi)$ и $f'(\pi)$ в исходное выражение:

$f'(\pi) + f(\pi) + 2 = 2\pi + 0 + 2 = 2\pi + 2$.

Ответ: $2\pi + 2$.