Номер 215, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 215, страница 89.

Условие.

215. Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно 0, если:

1) $f(x) = x^2 - 6x - 8\ln x$

2) $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln (x + 2)$

3) $f(x) = \sqrt{x + 1} - \ln (x - 2)$

4) $f(x) = \ln(x - 1) + 2\ln(x + 2)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 6x - 8\ln x$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием для натурального логарифма: $x > 0$.

Находим производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (x^2)' - (6x)' - (8\ln x)' = 2x - 6 - 8 \cdot \frac{1}{x} = 2x - 6 - \frac{8}{x}$.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти значения $x$, при которых $f'(x)=0$:

$2x - 6 - \frac{8}{x} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (это возможно, так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 0$):

$x(2x - 6 - \frac{8}{x}) = 0 \cdot x$

$2x^2 - 6x - 8 = 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -4, а сумма равна 3. Это числа 4 и -1.

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверяем, входят ли найденные корни в область определения функции ($x > 0$).

Корень $x = 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Следовательно, производная равна нулю только при одном значении $x$.

Ответ: $x=4$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условиями: $x \ge 0$ (для квадратного корня) и $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$. Пересечение этих двух условий дает $x \ge 0$.

Находим производную функции $f'(x)$. Обратите внимание, что область определения производной будет $x>0$ из-за появления $\sqrt{x}$ в знаменателе.

$f'(x) = (2\sqrt{x})' - (3\ln(x+2))' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot (x+2)' = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2}$.

Приравниваем производную к нулю:

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2} = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{x+2}$

По свойству пропорции получаем: $x+2 = 3\sqrt{x}$.

Чтобы решить это иррациональное уравнение, возведем обе части в квадрат. Условие $x+2 \ge 0$ выполняется, так как $x>0$.

$(x+2)^2 = (3\sqrt{x})^2$

$x^2 + 4x + 4 = 9x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Оба корня ($x=1$ и $x=4$) входят в область определения производной ($x>0$) и исходной функции. Так как мы возводили в квадрат, необходимо выполнить проверку, подставив корни в уравнение до возведения в квадрат: $x+2 = 3\sqrt{x}$.

Проверка для $x=1$: $1+2 = 3\sqrt{1} \Rightarrow 3=3$. Верно.

Проверка для $x=4$: $4+2 = 3\sqrt{4} \Rightarrow 6=3 \cdot 2 \Rightarrow 6=6$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x=1, x=4$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{x+1} - \ln(x-2)$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условиями: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$ и $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$. Пересечение этих условий дает $x > 2$.

Находим производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x+1})' - (\ln(x-2))' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{x-2}$.

Приравниваем производную к нулю:

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{x-2} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{1}{x-2}$

$x-2 = 2\sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат. Условие $x-2 > 0$ выполняется в ОДЗ.

$(x-2)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x+1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

$x^2 - 8x = 0$

Выносим $x$ за скобки: $x(x-8) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Проверяем, входят ли корни в область определения функции ($x > 2$).

Корень $x = 0$ не удовлетворяет условию $x > 2$.

Корень $x = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Ответ: $x=8$.

4) Дана функция $f(x) = \ln(x-1) + 2\ln(x+2)$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условиями: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ и $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$. Пересечение этих условий дает $x > 1$.

Находим производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (\ln(x-1))' + (2\ln(x+2))' = \frac{1}{x-1} + 2 \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2}$.

Приравниваем производную к нулю:

$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2} = 0$

Приводим дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+2)$:

$\frac{1(x+2) + 2(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 0$

$\frac{x+2+2x-2}{(x-1)(x+2)} = 0$

$\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Знаменатель не равен нулю в ОДЗ.

$3x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Проверяем, входит ли найденный корень в область определения функции ($x > 1$).

Корень $x = 0$ не удовлетворяет условию $x > 1$.

Следовательно, значений $x$, при которых производная равна нулю, не существует.

Ответ: решений нет.