Номер 210, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 210, страница 89.

Условие.

Найти производную функции (210–214).

210. 1) $ \sqrt[3]{\frac{2x-1}{3}} + \ln \frac{2x+3}{5}; $

2) $ \sqrt{\frac{1-x}{6}} - 2\ln \frac{2-5x}{3}; $

3) $ 2e^{\frac{1-x}{3}} + 3\cos \frac{1-x}{2}; $

4) $ 5\sin \frac{2x+3}{4} - 4\sqrt[3]{\frac{1}{x-1}}; $

5) $ \sqrt[3]{\frac{1}{2-x}} - 3\cos \frac{x-2}{3}; $

6) $ 6\sqrt[3]{\frac{1}{(2-x)^2}} + 4e^{\frac{3-5x}{2}}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция: $y = \sqrt[3]{\frac{2x-1}{3}} + \ln\frac{2x+3}{5}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде, удобном для дифференцирования: $y = \left(\frac{1}{3}(2x-1)\right)^{1/3} + \ln(2x+3) - \ln 5$.

Производная функции является суммой производных ее слагаемых:

$y' = \left(\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{1/3}\right)' + (\ln(2x+3))' - (\ln 5)'$.

1. Найдем производную первого слагаемого, используя правило дифференцирования сложной функции (степенная функция $u^{1/3}$, где $u = \frac{2x-1}{3}$):

$\left(\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{1/3}\right)' = \frac{1}{3}\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{\frac{1}{3}-1} \cdot \left(\frac{2x-1}{3}\right)' = \frac{1}{3}\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{-2/3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\left(\frac{3}{2x-1}\right)^{2/3} = \frac{2}{9} \frac{3^{2/3}}{(2x-1)^{2/3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{9}}{9\sqrt[3]{(2x-1)^2}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{3(2x-1)^2}}$.

2. Найдем производную второго слагаемого (сложная функция, натуральный логарифм $\ln u$, где $u = 2x+3$):

$(\ln(2x+3))' = \frac{1}{2x+3} \cdot (2x+3)' = \frac{2}{2x+3}$.

3. Производная третьего слагаемого, являющегося константой, равна нулю: $(\ln 5)' = 0$.

Суммируя полученные результаты, получаем производную исходной функции:

$y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{3(2x-1)^2}} + \frac{2}{2x+3}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{3(2x-1)^2}} + \frac{2}{2x+3}$.

2)

Дана функция: $y = \sqrt{\frac{1-x}{6}} - 2\ln\frac{2-5x}{3}$.

Перепишем функцию: $y = \left(\frac{1-x}{6}\right)^{1/2} - 2(\ln(2-5x) - \ln 3)$.

Найдем производную $y'$:

$y' = \left(\left(\frac{1-x}{6}\right)^{1/2}\right)' - (2\ln(2-5x))' + (2\ln 3)'$.

1. Производная первого слагаемого (степенная функция $u^{1/2}$, где $u = \frac{1-x}{6}$):

$\left(\left(\frac{1-x}{6}\right)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}\left(\frac{1-x}{6}\right)^{-1/2} \cdot \left(\frac{1-x}{6}\right)' = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{6}{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{12}\sqrt{\frac{6}{1-x}} = -\frac{\sqrt{6}}{12\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{6(1-x)}}$.

2. Производная второго слагаемого (логарифмическая функция $\ln u$, где $u=2-5x$):

$-(2\ln(2-5x))' = -2 \cdot \frac{1}{2-5x} \cdot (2-5x)' = -2 \cdot \frac{-5}{2-5x} = \frac{10}{2-5x}$.

3. Производная константы $2\ln 3$ равна 0.

Объединяем результаты:

$y' = -\frac{1}{2\sqrt{6(1-x)}} + \frac{10}{2-5x}$.

Ответ: $y' = \frac{10}{2-5x} - \frac{1}{2\sqrt{6(1-x)}}$.

3)

Дана функция: $y = 2e^{\frac{1-x}{3}} + 3\cos\frac{1-x}{2}$.

Находим производную как сумму производных:

$y' = (2e^{\frac{1-x}{3}})' + (3\cos\frac{1-x}{2})'$.

1. Производная первого слагаемого (экспоненциальная функция $e^u$, где $u = \frac{1-x}{3}$):

$(2e^{\frac{1-x}{3}})' = 2e^{\frac{1-x}{3}} \cdot \left(\frac{1-x}{3}\right)' = 2e^{\frac{1-x}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}}$.

2. Производная второго слагаемого (тригонометрическая функция $\cos u$, где $u = \frac{1-x}{2}$):

$(3\cos\frac{1-x}{2})' = 3 \cdot \left(-\sin\frac{1-x}{2}\right) \cdot \left(\frac{1-x}{2}\right)' = -3\sin\frac{1-x}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2}$.

Складываем результаты:

$y' = -\frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}} + \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2} - \frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}}$.

4)

Дана функция: $y = 5\sin\frac{2x+3}{4} - 4\sqrt{\frac{1}{x-1}}$.

Перепишем второе слагаемое в виде степени: $4\sqrt{\frac{1}{x-1}} = 4(x-1)^{-1/2}$.

Находим производную:

$y' = \left(5\sin\frac{2x+3}{4}\right)' - \left(4(x-1)^{-1/2}\right)'$.

1. Производная первого слагаемого (тригонометрическая функция $\sin u$, где $u = \frac{2x+3}{4}$):

$\left(5\sin\frac{2x+3}{4}\right)' = 5\cos\frac{2x+3}{4} \cdot \left(\frac{2x+3}{4}\right)' = 5\cos\frac{2x+3}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{2}\cos\frac{2x+3}{4}$.

2. Производная второго слагаемого (степенная функция $u^{-1/2}$, где $u = x-1$):

$-\left(4(x-1)^{-1/2}\right)' = -4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x-1)^{-1/2-1} \cdot (x-1)' = 2(x-1)^{-3/2} \cdot 1 = \frac{2}{(x-1)^{3/2}} = \frac{2}{(x-1)\sqrt{x-1}}$.

Объединяем результаты:

$y' = \frac{5}{2}\cos\frac{2x+3}{4} + \frac{2}{(x-1)\sqrt{x-1}}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{2}\cos\frac{2x+3}{4} + \frac{2}{(x-1)\sqrt{x-1}}$.

5)

Дана функция: $y = \sqrt[3]{\frac{1}{2-x}} - 3\cos\frac{x-2}{3}$.

Перепишем функцию в виде степеней: $y = (2-x)^{-1/3} - 3\cos\frac{x-2}{3}$.

Находим производную:

$y' = ((2-x)^{-1/3})' - \left(3\cos\frac{x-2}{3}\right)'$.

1. Производная первого слагаемого (степенная функция $u^{-1/3}$, где $u = 2-x$):

$((2-x)^{-1/3})' = -\frac{1}{3}(2-x)^{-1/3-1} \cdot (2-x)' = -\frac{1}{3}(2-x)^{-4/3} \cdot (-1) = \frac{1}{3(2-x)^{4/3}} = \frac{1}{3(2-x)\sqrt[3]{2-x}}$.

2. Производная второго слагаемого (тригонометрическая функция $\cos u$, где $u = \frac{x-2}{3}$):

$-\left(3\cos\frac{x-2}{3}\right)' = -3 \cdot \left(-\sin\frac{x-2}{3}\right) \cdot \left(\frac{x-2}{3}\right)' = 3\sin\frac{x-2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \sin\frac{x-2}{3}$.

Складываем результаты:

$y' = \frac{1}{3(2-x)\sqrt[3]{2-x}} + \sin\frac{x-2}{3}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{3(2-x)\sqrt[3]{2-x}} + \sin\frac{x-2}{3}$.

6)

Дана функция: $y = 6\sqrt[3]{\frac{1}{(2-x)^2}} + 4e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Перепишем функцию в виде степеней: $y = 6(2-x)^{-2/3} + 4e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Находим производную:

$y' = (6(2-x)^{-2/3})' + \left(4e^{\frac{3-5x}{2}}\right)'$.

1. Производная первого слагаемого (степенная функция $u^{-2/3}$, где $u = 2-x$):

$(6(2-x)^{-2/3})' = 6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)(2-x)^{-2/3-1} \cdot (2-x)' = -4(2-x)^{-5/3} \cdot (-1) = 4(2-x)^{-5/3} = \frac{4}{(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}}$.

2. Производная второго слагаемого (экспоненциальная функция $e^u$, где $u = \frac{3-5x}{2}$):

$\left(4e^{\frac{3-5x}{2}}\right)' = 4e^{\frac{3-5x}{2}} \cdot \left(\frac{3-5x}{2}\right)' = 4e^{\frac{3-5x}{2}} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -10e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Объединяем результаты:

$y' = \frac{4}{(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}} - 10e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}} - 10e^{\frac{3-5x}{2}}$.