Номер 205, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 205, страница 88.

Условие.

205. 1) $e^{\frac{1}{x}}$;

2) $e^{-\frac{2}{x}}$;

3) $\ln(2x-1)$;

4) $\ln 3x$;

5) $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$;

6) $\cos 4x$;

7) $\operatorname{tg}(3x+3)$;

8) $\sin\left(\frac{2x}{3}+1\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = e^{\frac{1}{x}}$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В данном случае внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $g(x) = \frac{1}{x}$.
Сначала найдем производные этих функций:
Производная внешней функции: $f'(u) = (e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

2) Для нахождения производной функции $y = e^{-\frac{2}{x}}$ применим правило дифференцирования сложной функции.
Здесь внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $g(x) = -\frac{2}{x}$.
Находим производные этих функций:
$f'(u) = (e^u)' = e^u$.
$g'(x) = \left(-\frac{2}{x}\right)' = (-2x^{-1})' = -2 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.
Согласно цепному правилу, производная исходной функции равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции:
$y' = e^{-\frac{2}{x}} \cdot \frac{2}{x^2} = \frac{2e^{-\frac{2}{x}}}{x^2}$.
Ответ: $\frac{2e^{-\frac{2}{x}}}{x^2}$

3) Для нахождения производной функции $y = \ln(2x-1)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя функция $g(x) = 2x-1$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
$g'(x) = (2x-1)' = 2$.
Применяем цепное правило:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2x-1} \cdot 2 = \frac{2}{2x-1}$.
Ответ: $\frac{2}{2x-1}$

4) Для нахождения производной функции $y = \ln(3x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя функция $g(x) = 3x$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
$g'(x) = (3x)' = 3$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$

5) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg} u$, внутренняя функция $g(x) = \frac{x}{2}$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.
$g'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{2}$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$.
Ответ: $\frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$

6) Для нахождения производной функции $y = \cos(4x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \cos u$, внутренняя функция $g(x) = 4x$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
$g'(x) = (4x)' = 4$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$.
Ответ: $-4\sin(4x)$

7) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{tg}(3x+3)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg} u$, внутренняя функция $g(x) = 3x+3$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.
$g'(x) = (3x+3)' = 3$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos^2(3x+3)} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(3x+3)}$.
Ответ: $\frac{3}{\cos^2(3x+3)}$

8) Для нахождения производной функции $y = \sin\left(\frac{2x}{3} + 1\right)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \sin u$, внутренняя функция $g(x) = \frac{2x}{3} + 1$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.
$g'(x) = \left(\frac{2x}{3} + 1\right)' = \frac{2}{3}$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos\left(\frac{2x}{3} + 1\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\cos\left(\frac{2x}{3} + 1\right)$.
Ответ: $\frac{2}{3}\cos\left(\frac{2x}{3} + 1\right)$