Номер 198, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 198, страница 87.

Условие.

198. 1) $6x^4 - 9e^{3x};$

2) $\frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x;$

3) $3\sqrt[3]{x} - 4\cos 4x;$

4) $\frac{5}{x^2} + 4e^{\frac{x}{4}};$

5) $\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln 4x;$

6) $3\operatorname{tg} 2x - 2\sqrt[3]{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Требуется найти первообразную для функции $y = 6x^4 - 9e^{3x}$. Это эквивалентно нахождению неопределенного интеграла.

Используем свойство линейности интеграла: $\int (6x^4 - 9e^{3x}) dx = \int 6x^4 dx - \int 9e^{3x} dx$

Выносим константы за знак интеграла: $6 \int x^4 dx - 9 \int e^{3x} dx$

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. $6 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 9 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{6}{5}x^5 - 3e^{3x} + C$.

Ответ: $\frac{6}{5}x^5 - 3e^{3x} + C$.

---

2) Требуется найти первообразную для функции $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x$. Находим неопределенный интеграл.

Используя свойство линейности и вынося константы, получаем: $\int (\frac{1}{4}x^8 + 3\sin 3x) dx = \frac{1}{4} \int x^8 dx + 3 \int \sin 3x dx$.

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. $\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + 3 \cdot (-\frac{1}{3}\cos 3x) + C = \frac{1}{4} \frac{x^9}{9} - \cos 3x + C = \frac{x^9}{36} - \cos 3x + C$.

Ответ: $\frac{x^9}{36} - \cos 3x + C$.

---

3) Требуется найти первообразную для функции $y = 3\sqrt[3]{x} - 4\cos 4x$.

Перепишем функцию, используя степенное представление корня: $y = 3x^{1/3} - 4\cos 4x$. Находим интеграл: $\int (3x^{1/3} - 4\cos 4x) dx = 3 \int x^{1/3} dx - 4 \int \cos 4x dx$.

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. $3 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - 4 \cdot \frac{1}{4}\sin 4x + C = 3 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - \sin 4x + C = \frac{9}{4}x^{4/3} - \sin 4x + C$.

Результат можно также записать с использованием корня: $ \frac{9}{4}x\sqrt[3]{x} - \sin 4x + C$.

Ответ: $\frac{9}{4}x^{4/3} - \sin 4x + C$.

---

4) Требуется найти первообразную для функции $y = \frac{5}{x^2} + 4e^{\frac{x}{4}}$.

Перепишем функцию в степенном виде: $y = 5x^{-2} + 4e^{\frac{1}{4}x}$. Находим интеграл: $\int (5x^{-2} + 4e^{\frac{1}{4}x}) dx = 5 \int x^{-2} dx + 4 \int e^{\frac{1}{4}x} dx$.

Применяем формулы для табличных интегралов: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. $5 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + 4 \cdot \frac{e^{\frac{1}{4}x}}{1/4} + C = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 16e^{\frac{x}{4}} + C = -5x^{-1} + 16e^{\frac{x}{4}} + C$.

Результат можно записать в виде дроби: $-\frac{5}{x} + 16e^{\frac{x}{4}} + C$.

Ответ: $-\frac{5}{x} + 16e^{\frac{x}{4}} + C$.

---

5) Требуется найти первообразную для функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln 4x$.

Находим интеграл $\int (\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln 4x) dx$. Разделим его на два интеграла: $\int \frac{1}{3x^3} dx + \int \frac{1}{2}\ln 4x dx = \frac{1}{3}\int x^{-3} dx + \frac{1}{2}\int \ln 4x dx$.

Первый интеграл: $\frac{1}{3}\int x^{-3} dx = \frac{1}{3} \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_1 = \frac{1}{3} \frac{x^{-2}}{-2} + C_1 = -\frac{1}{6x^2} + C_1$.

Второй интеграл $\int \ln 4x dx$ находим методом интегрирования по частям $\int u dv = uv - \int v du$. Пусть $u = \ln 4x$ и $dv = dx$. Тогда $du = (\ln 4x)' dx = \frac{1}{4x} \cdot 4 dx = \frac{1}{x}dx$, а $v = \int dx = x$. $\int \ln 4x dx = x \cdot \ln 4x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln 4x - \int dx = x \ln 4x - x + C_2$.

Объединяем результаты: $-\frac{1}{6x^2} + \frac{1}{2}(x \ln 4x - x) + C = -\frac{1}{6x^2} + \frac{x}{2}\ln 4x - \frac{x}{2} + C$. (где $C = C_1 + \frac{1}{2}C_2$)

Ответ: $-\frac{1}{6x^2} + \frac{x}{2}\ln 4x - \frac{x}{2} + C$.

---

6) Требуется найти первообразную для функции $y = 3\operatorname{tg} 2x - 2\sqrt[3]{x}$.

Перепишем функцию в виде $y = 3\operatorname{tg} 2x - 2x^{1/3}$ и найдем интеграл: $\int (3\operatorname{tg} 2x - 2x^{1/3}) dx = 3\int \operatorname{tg} 2x dx - 2\int x^{1/3} dx$.

Применяем табличные интегралы: $\int \operatorname{tg}(kx) dx = -\frac{1}{k}\ln|\cos(kx)| + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Интегрируем каждое слагаемое: $3 \cdot (-\frac{1}{2}\ln|\cos 2x|) - 2 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + C = -\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C = -\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.

Результат можно также записать с использованием корня: $-\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} + C$.

Ответ: $-\frac{3}{2}\ln|\cos 2x| - \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.