Номер 201, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 201, страница 88.

Условие.

201. 1) $(x+3)^8$;

2) $(x-4)^7$;

3) $\sqrt[3]{x-2}$;

4) $\sqrt{x+5}$;

5) $\frac{1}{(x+1)^2}$;

6) $\frac{1}{(x-1)^3}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$;

8) $\frac{3}{\sqrt[3]{x-4}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения всех задач будем использовать формулу нахождения первообразной для сложной функции вида $f(x) = (kx+b)^n$ (где $k$ и $b$ - константы), которая является обобщением степенного правила интегрирования:
$F(x) = \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная интегрирования. Во всех представленных задачах коэффициент $k=1$, что упрощает формулу до $F(x) = \frac{(x+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

1) Дана функция $f(x) = (x+3)^8$.
Это степенная функция вида $(x+b)^n$, где $b=3$ и $n=8$.
Применяем формулу для нахождения первообразной:
$F(x) = \int (x+3)^8 dx = \frac{(x+3)^{8+1}}{8+1} + C = \frac{(x+3)^9}{9} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(x+3)^9}{9} + C$.

2) Дана функция $f(x) = (x-4)^7$.
Это степенная функция вида $(x+b)^n$, где $b=-4$ и $n=7$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x-4)^7 dx = \frac{(x-4)^{7+1}}{7+1} + C = \frac{(x-4)^8}{8} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(x-4)^8}{8} + C$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x-2}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x-2)^{1/3}$.
Здесь $b=-2$ и $n=1/3$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x-2)^{1/3} dx = \frac{(x-2)^{1/3+1}}{1/3+1} + C = \frac{(x-2)^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4}(x-2)^{4/3} + C$.
Результат можно также записать в виде корня: $\frac{3}{4}\sqrt[3]{(x-2)^4} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}(x-2)^{4/3} + C$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{x+5}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x+5)^{1/2}$.
Здесь $b=5$ и $n=1/2$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x+5)^{1/2} dx = \frac{(x+5)^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{(x+5)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x+5)^{3/2} + C$.
Результат можно также записать в виде корня: $\frac{2}{3}\sqrt{(x+5)^3} + C$ или $\frac{2}{3}(x+5)\sqrt{x+5} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x+5)^{3/2} + C$.

5) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x+1)^{-2}$.
Здесь $b=1$ и $n=-2$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x+1)^{-2} dx = \frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x+1} + C$.

6) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x-1)^3}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x-1)^{-3}$.
Здесь $b=-1$ и $n=-3$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x-1)^{-3} dx = \frac{(x-1)^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{(x-1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C$.

7) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x+3)^{-1/2}$.
Здесь $b=3$ и $n=-1/2$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x+3)^{-1/2} dx = \frac{(x+3)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{(x+3)^{1/2}}{1/2} + C = 2(x+3)^{1/2} + C = 2\sqrt{x+3} + C$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+3} + C$.

8) Дана функция $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x-4}}$.
Вынесем константу и представим функцию в виде степени: $f(x) = 3 \cdot (x-4)^{-1/3}$.
Для нахождения первообразной воспользуемся свойством $\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x) dx$ и уже известной формулой:
$F(x) = \int 3(x-4)^{-1/3} dx = 3 \int (x-4)^{-1/3} dx$.
Для интеграла $\int (x-4)^{-1/3} dx$ имеем $b=-4$ и $n=-1/3$.
$F(x) = 3 \cdot \left( \frac{(x-4)^{-1/3+1}}{-1/3+1} \right) + C = 3 \cdot \frac{(x-4)^{2/3}}{2/3} + C = 3 \cdot \frac{3}{2} (x-4)^{2/3} + C = \frac{9}{2}(x-4)^{2/3} + C$.
Результат можно также записать в виде корня: $\frac{9}{2}\sqrt[3]{(x-4)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{2}(x-4)^{2/3} + C$.