Номер 200, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 200, страница 88.

Условие.

200. 1) $3x^2 - 4\sqrt[3]{x} + 2e^{\frac{x}{3}};$

2) $2x^3 + 3\sqrt{x} - \cos 2x;$

3) $\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \ln x^3;$

4) $2x^8 - 3\operatorname{tg} 3x - \frac{1}{3}\sin 3x;$

5) $8x^{\frac{3}{4}} + 7x^{\frac{1}{7}} - \cos 4x;$

6) $\frac{1}{5}\operatorname{ctg} x - 5x^{\frac{4}{5}} - \frac{1}{4}e^{2x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = 3x^2 - 4\sqrt[3]{x} + 2e^{\frac{x}{3}}$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и таблицей производных.
Перепишем функцию, представив корень в виде степени: $y = 3x^2 - 4x^{1/3} + 2e^{\frac{1}{3}x}$.
Производная суммы функций равна сумме производных:
$y' = (3x^2)' - (4x^{1/3})' + (2e^{\frac{x}{3}})'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(e^{kx})' = ke^{kx}$.
$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
$(4x^{1/3})' = 4 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{-2/3}$.
$(2e^{\frac{x}{3}})' = 2 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 2 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}}$.
Собираем все вместе: $y' = 6x - \frac{4}{3}x^{-2/3} + \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}}$.
Ответ: $6x - \frac{4}{3}x^{-2/3} + \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}}$.

2) Найдём производную функции $y = 2x^3 + 3\sqrt{x} - \cos 2x$.
Перепишем корень в виде степени: $y = 2x^3 + 3x^{1/2} - \cos 2x$.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности, используя правила дифференцирования степенной функции и сложной тригонометрической функции:$y' = (2x^3)' + (3x^{1/2})' - (\cos 2x)'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$(2x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$.
$(3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{-1/2}$.
$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
Объединяем результаты: $y' = 6x^2 + \frac{3}{2}x^{-1/2} - (-2\sin 2x) = 6x^2 + \frac{3}{2}x^{-1/2} + 2\sin 2x$.
Ответ: $6x^2 + \frac{3}{2}x^{-1/2} + 2\sin 2x$.

3) Найдём производную функции $y = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \ln x^3$.
Представим функцию в виде степеней и упростим логарифм (при $x>0$): $y = x^{1/3} + x^{-1/3} + 3\ln x$.
Дифференцируем каждое слагаемое: $y' = (x^{1/3})' + (x^{-1/3})' + (3\ln x)'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
$(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
$(x^{-1/3})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$.
$(3\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.
Складываем полученные производные: $y' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{3}x^{-4/3} + \frac{3}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{3}x^{-4/3} + \frac{3}{x}$.

4) Найдём производную функции $y = 2x^8 - 3\text{tg }3x - \frac{1}{3}\sin 3x$.
Дифференцируем по частям: $y' = (2x^8)' - (3\text{tg }3x)' - (\frac{1}{3}\sin 3x)'$.
Применяем формулы производных для степенной функции и сложных тригонометрических функций: $(\text{tg}(kx))' = \frac{k}{\cos^2(kx)}$ и $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.
$(2x^8)' = 2 \cdot 8x^{8-1} = 16x^7$.
$(3\text{tg }3x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(3x)} \cdot (3x)' = 3 \cdot \frac{3}{\cos^2(3x)} = \frac{9}{\cos^2(3x)}$.
$(\frac{1}{3}\sin 3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = \frac{1}{3} \cdot 3\cos(3x) = \cos(3x)$.
Собираем все вместе, учитывая знаки: $y' = 16x^7 - \frac{9}{\cos^2(3x)} - \cos(3x)$.
Ответ: $16x^7 - \frac{9}{\cos^2(3x)} - \cos(3x)$.

5) Найдём производную функции $y = 8x^{\frac{3}{4}} + 7x^{\frac{1}{7}} - \cos 4x$.
Функция уже представлена в удобном для дифференцирования виде.
Находим производную как сумму производных: $y' = (8x^{\frac{3}{4}})' + (7x^{\frac{1}{7}})' - (\cos 4x)'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$(8x^{\frac{3}{4}})' = 8 \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = 6x^{-\frac{1}{4}}$.
$(7x^{\frac{1}{7}})' = 7 \cdot \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = x^{-\frac{6}{7}}$.
$(\cos 4x)' = -\sin(4x) \cdot (4x)' = -4\sin 4x$.
Соединяем части: $y' = 6x^{-\frac{1}{4}} + x^{-\frac{6}{7}} - (-4\sin 4x) = 6x^{-\frac{1}{4}} + x^{-\frac{6}{7}} + 4\sin 4x$.
Ответ: $6x^{-\frac{1}{4}} + x^{-\frac{6}{7}} + 4\sin 4x$.

6) Найдём производную функции $y = \frac{1}{5}\text{ctg }x - 5x^{\frac{4}{5}} - \frac{1}{4}e^{2x}$.
Дифференцируем каждое слагаемое: $y' = (\frac{1}{5}\text{ctg }x)' - (5x^{\frac{4}{5}})' - (\frac{1}{4}e^{2x})'$.
Применяем соответствующие формулы производных: $(\text{ctg }x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(e^{kx})' = ke^{kx}$.
$(\frac{1}{5}\text{ctg }x)' = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{5\sin^2 x}$.
$(5x^{\frac{4}{5}})' = 5 \cdot \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = 4x^{-\frac{1}{5}}$.
$(\frac{1}{4}e^{2x})' = \frac{1}{4} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{4} \cdot 2e^{2x} = \frac{1}{2}e^{2x}$.
Объединяем результаты с учётом знаков: $y' = -\frac{1}{5\sin^2 x} - 4x^{-\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}e^{2x}$.
Ответ: $-\frac{1}{5\sin^2 x} - 4x^{-\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}e^{2x}$.