Номер 199, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 199, страница 88.

Условие.

199. 1) $8\sqrt[4]{x} + 16e^{\frac{x}{2}};$

2) $\frac{9}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{4}\sin 4x;$

3) $3x\sqrt[3]{x} - 3\ln \frac{1}{x};$

4) $\frac{1}{x\sqrt{x}} + 5\cos \frac{x}{5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найти производную функции $y = 8\sqrt[4]{x} + 16e^{\frac{x}{2}}$.

Сначала преобразуем функцию, представив корень в виде степени:
$y = 8x^{\frac{1}{4}} + 16e^{\frac{x}{2}}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы, правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило для экспоненциальной функции $(e^{kx})' = ke^{kx}$.
$y' = (8x^{\frac{1}{4}} + 16e^{\frac{x}{2}})' = (8x^{\frac{1}{4}})' + (16e^{\frac{x}{2}})'$

Найдем производную каждого слагаемого:
$(8x^{\frac{1}{4}})' = 8 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = 2x^{-\frac{3}{4}}$
$(16e^{\frac{x}{2}})' = 16 \cdot e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = 16e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = 8e^{\frac{x}{2}}$

Складываем полученные производные:
$y' = 2x^{-\frac{3}{4}} + 8e^{\frac{x}{2}}$

Запишем результат, вернувшись к представлению с корнями:
$y' = \frac{2}{x^{\frac{3}{4}}} + 8e^{\frac{x}{2}} = \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}} + 8e^{\frac{x}{2}}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt[4]{x^3}} + 8e^{\frac{x}{2}}$

2) Найти производную функции $y = \frac{9}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Преобразуем функцию, представив корень и дробь в виде степени:
$y = 9x^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{4}\sin(4x)$

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности, правило для степенной функции и производную сложной функции для синуса $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.
$y' = (9x^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{4}\sin(4x))' = (9x^{-\frac{1}{3}})' - (\frac{1}{4}\sin(4x))'$

Найдем производную каждого слагаемого:
$(9x^{-\frac{1}{3}})' = 9 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -3x^{-\frac{4}{3}}$
$(\frac{1}{4}\sin(4x))' = \frac{1}{4} \cdot \cos(4x) \cdot (4x)' = \frac{1}{4} \cos(4x) \cdot 4 = \cos(4x)$

Вычитаем вторую производную из первой:
$y' = -3x^{-\frac{4}{3}} - \cos(4x)$

Запишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{3}{x^{\frac{4}{3}}} - \cos(4x) = -\frac{3}{\sqrt[3]{x^4}} - \cos(4x) = -\frac{3}{x\sqrt[3]{x}} - \cos(4x)$

Ответ: $-3x^{-\frac{4}{3}} - \cos(4x)$ или $-\frac{3}{x\sqrt[3]{x}} - \cos(4x)$

3) Найти производную функции $y = 3x\sqrt[3]{x} - 3\ln\frac{1}{x}$.

Преобразуем функцию, используя свойства степеней и логарифмов:
$3x\sqrt[3]{x} = 3x^1 \cdot x^{\frac{1}{3}} = 3x^{1+\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{4}{3}}$
$3\ln\frac{1}{x} = 3\ln(x^{-1}) = 3 \cdot (-1)\ln x = -3\ln x$
Таким образом, функция принимает вид: $y = 3x^{\frac{4}{3}} - (-3\ln x) = 3x^{\frac{4}{3}} + 3\ln x$

Теперь найдем производную:
$y' = (3x^{\frac{4}{3}} + 3\ln x)' = (3x^{\frac{4}{3}})' + (3\ln x)'$

Найдем производную каждого слагаемого, используя правило для степенной функции и правило для натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$:
$(3x^{\frac{4}{3}})' = 3 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = 4x^{\frac{1}{3}}$
$(3\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$

Складываем полученные производные:
$y' = 4x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{x}$

Запишем результат с использованием корня:
$y' = 4\sqrt[3]{x} + \frac{3}{x}$

Ответ: $4\sqrt[3]{x} + \frac{3}{x}$

4) Найти производную функции $y = \frac{1}{x\sqrt{x}} + 5\cos\frac{x}{5}$.

Преобразуем первое слагаемое в степенной вид:
$\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{1+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$
Функция принимает вид: $y = x^{-\frac{3}{2}} + 5\cos\frac{x}{5}$

Найдем производную, используя правило дифференцирования суммы, правило для степенной функции и производную сложной функции для косинуса $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$y' = (x^{-\frac{3}{2}} + 5\cos\frac{x}{5})' = (x^{-\frac{3}{2}})' + (5\cos\frac{x}{5})'$

Найдем производную каждого слагаемого:
$(x^{-\frac{3}{2}})' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$
$(5\cos\frac{x}{5})' = 5 \cdot (-\sin\frac{x}{5}) \cdot (\frac{x}{5})' = -5\sin\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{5} = -\sin\frac{x}{5}$

Складываем полученные производные:
$y' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} - \sin\frac{x}{5}$

Запишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{3}{2x^{\frac{5}{2}}} - \sin\frac{x}{5} = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}} - \sin\frac{x}{5} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}} - \sin\frac{x}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} - \sin\frac{x}{5}$ или $-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}} - \sin\frac{x}{5}$