Номер 196, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 196, страница 87.

Условие.

196. 1) $ \ln x + \sin x $;

2) $ e^x - \sin x $;

3) $ \sqrt{x} - \cos x $;

4) $ \frac{1}{x^2} + e^x $;

5) $ \operatorname{tg} x + \ln x $;

6) $ e^x - \operatorname{ctg} x $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = \ln x + \sin x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$. Таким образом, производная исходной функции равна: $y' = (\ln x + \sin x)' = (\ln x)' + (\sin x)' = \frac{1}{x} + \cos x$.
Ответ: $\frac{1}{x} + \cos x$

2) Для нахождения производной функции $y = e^x - \sin x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$. Производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$. Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, производная исходной функции: $y' = (e^x - \sin x)' = (e^x)' - (\sin x)' = e^x - \cos x$.
Ответ: $e^x - \cos x$

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} - \cos x$ представим корень как степень: $y = x^{1/2} - \cos x$. Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$. Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, поэтому $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Производная косинуса $(\cos x)' = -\sin x$. Тогда, $y' = (\sqrt{x} - \cos x)' = (\sqrt{x})' - (\cos x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - (-\sin x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$.
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{x^2} + e^x$ представим дробь как степень с отрицательным показателем: $y = x^{-2} + e^x$. Применим правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$. Для первого слагаемого используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем $(x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$. Производная второго слагаемого $(e^x)' = e^x$. Таким образом, $y' = (x^{-2} + e^x)' = (x^{-2})' + (e^x)' = -\frac{2}{x^3} + e^x$.
Ответ: $e^x - \frac{2}{x^3}$

5) Для нахождения производной функции $y = \text{tg } x + \ln x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Производная тангенса $(\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Складывая производные, получаем: $y' = (\text{tg } x + \ln x)' = (\text{tg } x)' + (\ln x)' = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{x}$

6) Для нахождения производной функции $y = e^x - \text{ctg } x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$. Производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$. Производная котангенса $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Вычитая одну производную из другой, получаем: $y' = (e^x - \text{ctg } x)' = (e^x)' - (\text{ctg } x)' = e^x - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = e^x + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $e^x + \frac{1}{\sin^2 x}$