Номер 189, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 6. Производная степенной функции. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 189, страница 83.

Условие.

189. 1) $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1};$

2) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1};$

3) $\frac{2x}{1 - x^2} + \frac{1}{x};$

4) $\frac{2 - x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2 - x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1}$, сначала попробуем разложить числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение на множители имеет вид: $2(x - 1)(x - \frac{1}{2}) = (2x - 1)(x - 1)$.
Подставим в дробь: $\frac{(2x - 1)(x - 1)}{x + 1}$.
Так как общих множителей у числителя и знаменателя нет, сократить дробь нельзя. В этом случае для упрощения можно выполнить деление многочлена на многочлен ("уголком"):
$ \begin{array}{r|l} \_2x^2 - 3x + 1 & x + 1 \\ \underline{2x^2 + 2x} \phantom{+1} & 2x - 5 \\ \_ -5x + 1 \\ \underline{-5x - 5} \\ 6 \end{array} $
В результате деления получаем частное $2x - 5$ и остаток $6$. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде суммы целой части и дроби:
$2x - 5 + \frac{6}{x + 1}$.
Ответ: $2x - 5 + \frac{6}{x + 1}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{3x^2 + 2x - 1}{2x + 1}$. Разложим числитель $3x^2 + 2x - 1$ на множители, найдя корни уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
Разложение на множители: $3(x - \frac{1}{3})(x - (-1)) = (3x - 1)(x + 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(3x - 1)(x + 1)}{2x + 1}$.
Сокращение невозможно. Выполним деление многочленов "уголком":
$ \begin{array}{r|l} \_3x^2 + 2x - 1 & 2x + 1 \\ \underline{3x^2 + \frac{3}{2}x} \phantom{-1..} & \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} \\ \_ \frac{1}{2}x - 1 \\ \underline{\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}} \\ -\frac{5}{4} \end{array} $
Результатом деления является частное $\frac{3}{2}x + \frac{1}{4}$ и остаток $-\frac{5}{4}$.
Таким образом, выражение можно записать как: $\frac{3}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4(2x+1)}$.
Ответ: $\frac{3}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4(2x + 1)}$

3) Упростим сумму дробей $\frac{2x}{1 - x^2} + \frac{1}{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями $1 - x^2 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$ и $x \neq 0$.
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$. Общий знаменатель равен $x(1 - x^2)$.
$\frac{2x \cdot x}{x(1 - x^2)} + \frac{1 \cdot (1 - x^2)}{x(1 - x^2)} = \frac{2x^2 + 1 - x^2}{x(1 - x^2)}$.
Упростим числитель: $2x^2 + 1 - x^2 = x^2 + 1$.
Итоговое выражение:
$\frac{x^2 + 1}{x(1 - x^2)}$.
Ответ: $\frac{x^2 + 1}{x(1 - x^2)}$

4) Упростим выражение $\frac{2-x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2-x}$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатели не должны быть равны нулю ($\sqrt{x} \neq 0$ и $2 - x \neq 0$). Отсюда получаем $x > 0$ и $x \neq 2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{x}(2-x)$: $\frac{(2-x)(2-x)}{\sqrt{x}(2-x)} + \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(2-x)} = \frac{(2-x)^2 + (\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}(2-x)}$.
Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(2-x)^2 + (\sqrt{x})^2 = (4 - 4x + x^2) + x = x^2 - 3x + 4$.
Получаем дробь: $\frac{x^2 - 3x + 4}{\sqrt{x}(2 - x)}$.
Проверим, можно ли разложить на множители числитель $x^2 - 3x + 4$. Дискриминант уравнения $x^2 - 3x + 4 = 0$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители. Выражение упрощено.
Ответ: $\frac{x^2 - 3x + 4}{\sqrt{x}(2 - x)}$