Номер 183, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 183, страница 83.

Условие.

183. Найти f'(1), если:

1) $f(x)=(x-1)^9 (2-x)^8$;

2) $f(x)=(2x-1)^5 (1+x)^4$;

3) $f(x)=\sqrt[3]{2-x} \cdot (2-3x)^6$;

4) $f(x)=(5x-4)^6 \cdot \sqrt{3x-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $f(x) = (x-1)^9 (2-x)^8$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (x-1)^9$ и $v(x) = (2-x)^8$. Найдем их производные, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = 9(x-1)^{9-1} \cdot (x-1)' = 9(x-1)^8 \cdot 1 = 9(x-1)^8$. $v'(x) = 8(2-x)^{8-1} \cdot (2-x)' = 8(2-x)^7 \cdot (-1) = -8(2-x)^7$. Теперь подставим все в формулу производной произведения: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 9(x-1)^8 (2-x)^8 + (x-1)^9 (-8(2-x)^7)$. Вычислим значение производной в точке $x=1$: $f'(1) = 9(1-1)^8 (2-1)^8 + (1-1)^9 (-8(2-1)^7) = 9 \cdot 0^8 \cdot 1^8 - 8 \cdot 0^9 \cdot 1^7 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: $0$

2)

Дана функция $f(x) = (2x-1)^5 (1+x)^4$. Применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (2x-1)^5$ и $v(x) = (1+x)^4$. Найдем их производные: $u'(x) = 5(2x-1)^4 \cdot (2x-1)' = 5(2x-1)^4 \cdot 2 = 10(2x-1)^4$. $v'(x) = 4(1+x)^3 \cdot (1+x)' = 4(1+x)^3 \cdot 1 = 4(1+x)^3$. Производная функции: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 10(2x-1)^4 (1+x)^4 + (2x-1)^5 \cdot 4(1+x)^3$. Вычислим значение $f'(1)$: $f'(1) = 10(2 \cdot 1 - 1)^4 (1+1)^4 + (2 \cdot 1 - 1)^5 \cdot 4(1+1)^3 = 10 \cdot 1^4 \cdot 2^4 + 1^5 \cdot 4 \cdot 2^3 = 10 \cdot 16 + 1 \cdot 4 \cdot 8 = 160 + 32 = 192$.

Ответ: $192$

3)

Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{2-x} \cdot (2-3x)^6$. Запишем ее в виде $f(x) = (2-x)^{1/3} (2-3x)^6$. Используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (2-x)^{1/3}$ и $v(x) = (2-3x)^6$. Найдем их производные: $u'(x) = \frac{1}{3}(2-x)^{1/3 - 1} \cdot (2-x)' = \frac{1}{3}(2-x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3}(2-x)^{-2/3}$. $v'(x) = 6(2-3x)^5 \cdot (2-3x)' = 6(2-3x)^5 \cdot (-3) = -18(2-3x)^5$. Производная функции: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -\frac{1}{3}(2-x)^{-2/3} (2-3x)^6 + (2-x)^{1/3} (-18(2-3x)^5)$. Вычислим значение $f'(1)$: $f'(1) = -\frac{1}{3}(2-1)^{-2/3} (2-3 \cdot 1)^6 - 18(2-1)^{1/3} (2-3 \cdot 1)^5 = -\frac{1}{3}(1)^{-2/3}(-1)^6 - 18(1)^{1/3}(-1)^5 = -\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 - 18 \cdot 1 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} + 18 = \frac{-1+54}{3} = \frac{53}{3}$.

Ответ: $\frac{53}{3}$

4)

Дана функция $f(x) = (5x-4)^6 \sqrt{3x-2}$. Запишем ее в виде $f(x) = (5x-4)^6 (3x-2)^{1/2}$. Используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = (5x-4)^6$ и $v(x) = (3x-2)^{1/2}$. Найдем их производные: $u'(x) = 6(5x-4)^5 \cdot (5x-4)' = 6(5x-4)^5 \cdot 5 = 30(5x-4)^5$. $v'(x) = \frac{1}{2}(3x-2)^{-1/2} \cdot (3x-2)' = \frac{1}{2}(3x-2)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2}(3x-2)^{-1/2}$. Производная функции: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 30(5x-4)^5 (3x-2)^{1/2} + (5x-4)^6 \cdot \frac{3}{2}(3x-2)^{-1/2}$. Вычислим значение $f'(1)$: $f'(1) = 30(5 \cdot 1 - 4)^5 \sqrt{3 \cdot 1 - 2} + (5 \cdot 1 - 4)^6 \cdot \frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 1 - 2}} = 30(1)^5 \sqrt{1} + (1)^6 \frac{3}{2\sqrt{1}} = 30 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{3}{2} = 30 + \frac{3}{2} = \frac{60+3}{2} = \frac{63}{2}$.

Ответ: $\frac{63}{2}$