Номер 176, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 176, страница 80.

Условие.

176. Записать формулой функцию $f(g(x))$ и найти её производную, если:

1) $f(y)=\sqrt{y^2-1}, y=g(x)=\sqrt{x^2+1};$

2) $f(y)=\sqrt{1-y^2}, y=g(x)=\cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Даны функции $f(y) = \sqrt{y^2 - 1}$ и $y = g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.
Сначала найдём формулу для сложной функции $f(g(x))$, подставив выражение для $g(x)$ в функцию $f(y)$ вместо $y$:
$f(g(x)) = \sqrt{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - 1} = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Таким образом, $f(g(x)) = |x|$.
Теперь найдём производную этой функции. Функция $h(x)=|x|$ определяется как:$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Производная этой функции:$h'(x) = (|x|)' = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
В точке $x=0$ производная не существует. Производную можно также записать в виде $\frac{x}{|x|}$ или $\text{sgn}(x)$ для $x \neq 0$.
Ответ: $f(g(x)) = |x|$, производная $(f(g(x)))' = \frac{x}{|x|}$ при $x \neq 0$.

2) Даны функции $f(y) = \sqrt{1 - y^2}$ и $y = g(x) = \cos x$.
Найдём формулу для сложной функции $f(g(x))$, подставив $g(x)$ в $f(y)$:
$f(g(x)) = \sqrt{1 - (\cos x)^2} = \sqrt{1 - \cos^2 x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$f(g(x)) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$.
Теперь найдём производную функции $h(x) = |\sin x|$. Эта функция дифференцируема во всех точках, где $\sin x \neq 0$, то есть при $x \neq k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Найдём производные $f'(y)$ и $g'(x)$:
$f'(y) = (\sqrt{1-y^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-y^2}} \cdot (-2y) = -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$.
$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Теперь подставим их в формулу цепного правила:
$(f(g(x)))' = f'(\cos x) \cdot (-\sin x) = \left(-\frac{\cos x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}\right) \cdot (-\sin x) = \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} \cdot \sin x = \frac{\cos x \sin x}{|\sin x|}$.
Эта производная существует при $\sin x \neq 0$.
Ответ: $f(g(x)) = |\sin x|$, производная $(f(g(x)))' = \frac{\cos x \sin x}{|\sin x|}$ при $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.