Номер 180, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 180, страница 82.

Условие.

180. 1) $\sqrt[3]{x};$

2) $\sqrt[5]{x};$

3) $2\sqrt[6]{x}-\sqrt[3]{x};$

4) $3\sqrt[6]{x}+7\sqrt[14]{x};$

5) $\frac{2}{5\sqrt{x}};$

6) $\frac{1}{x\sqrt{x}};$

7) $\frac{x^3+1}{x};$

8) $\frac{x^4-\sqrt{x}}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt[3]{x}$, представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/3}$.
Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Результат можно записать в виде корня: $y' = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

2) Представим функцию $y = \sqrt[5]{x}$ в виде степени: $y = x^{1/5}$.
Найдем производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}x^{-4/5}$.
Запишем ответ в виде корня: $y' = \frac{1}{5x^{4/5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.
Ответ: $\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

3) Дана функция $y = 2\sqrt[6]{x} - \sqrt[3]{x}$.
Перепишем ее в степенном виде: $y = 2x^{1/6} - x^{1/3}$.
Производная разности равна разности производных. Дифференцируем каждое слагаемое:
$y' = (2x^{1/6})' - (x^{1/3})' = 2 \cdot \frac{1}{6}x^{1/6-1} - \frac{1}{3}x^{1/3-1} = \frac{1}{3}x^{-5/6} - \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Запишем ответ с использованием корней: $y' = \frac{1}{3\sqrt[6]{x^5}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{3}x^{-5/6} - \frac{1}{3}x^{-2/3}$ или $\frac{1}{3\sqrt[6]{x^5}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

4) Дана функция $y = 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x}$.
Представим ее в степенном виде: $y = 3x^{1/6} + 7x^{1/14}$.
Производная суммы равна сумме производных. Дифференцируем каждое слагаемое:
$y' = (3x^{1/6})' + (7x^{1/14})' = 3 \cdot \frac{1}{6}x^{1/6-1} + 7 \cdot \frac{1}{14}x^{1/14-1} = \frac{1}{2}x^{-5/6} + \frac{1}{2}x^{-13/14}$.
Запишем ответ с использованием корней: $y' = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$.
Ответ: $\frac{1}{2}x^{-5/6} + \frac{1}{2}x^{-13/14}$ или $\frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$.

5) Дана функция $y = \frac{2}{5\sqrt{x}}$.
Перепишем ее в степенном виде для удобства дифференцирования: $y = \frac{2}{5x^{1/2}} = \frac{2}{5}x^{-1/2}$.
Найдем производную:
$y' = (\frac{2}{5}x^{-1/2})' = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = -\frac{1}{5}x^{-3/2}$.
Преобразуем результат: $y' = -\frac{1}{5x^{3/2}} = -\frac{1}{5\sqrt{x^3}} = -\frac{1}{5x\sqrt{x}}$.
Ответ: $-\frac{1}{5x\sqrt{x}}$.

6) Дана функция $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$.
Сначала упростим знаменатель и представим функцию в виде степени: $y = \frac{1}{x^1 \cdot x^{1/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2}$.
Теперь найдем производную:
$y' = (x^{-3/2})' = -\frac{3}{2}x^{-3/2-1} = -\frac{3}{2}x^{-5/2}$.
Преобразуем результат: $y' = -\frac{3}{2x^{5/2}} = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$.
Ответ: $-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$.

7) Дана функция $y = \frac{x^3+1}{x}$.
Для упрощения дифференцирования разделим числитель на знаменатель почленно:
$y = \frac{x^3}{x} + \frac{1}{x} = x^2 + x^{-1}$.
Теперь найдем производную как сумму производных:
$y' = (x^2)' + (x^{-1})' = 2x^1 + (-1)x^{-1-1} = 2x - x^{-2}$.
Запишем ответ в виде дроби: $y' = 2x - \frac{1}{x^2}$.
Ответ: $2x - \frac{1}{x^2}$.

8) Дана функция $y = \frac{x^4 - \sqrt{x}}{x}$.
Разделим числитель на знаменатель почленно и представим корни в виде степеней:
$y = \frac{x^4}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = x^3 - \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^3 - x^{1/2 - 1} = x^3 - x^{-1/2}$.
Найдем производную как разность производных:
$y' = (x^3)' - (x^{-1/2})' = 3x^2 - (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = 3x^2 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$.
Запишем результат, используя корень: $y' = 3x^2 + \frac{1}{2x^{3/2}} = 3x^2 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $3x^2 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.