Номер 181, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 181, страница 82.

Условие.

181. Найти f'(3) и f'(1), если:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2};$

2) $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1;$

3) $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^3};$

4) $f(x) = x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}};$

5) $f(x) = (x-1)^2 (x-3);$

6) $f(x) = (x-3)^3 (x-1);$

7) $f(x) = (x^2-1) (x+3);$

8) $f(x) = (x^2-9) (x+1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{-3} + x^{-2}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-3})' + (x^{-2})' = -3x^{-3-1} - 2x^{-2-1} = -3x^{-4} - 2x^{-3}$.

Запишем производную в виде дробей: $f'(x) = -\frac{3}{x^4} - \frac{2}{x^3}$.

Теперь вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = -\frac{3}{3^4} - \frac{2}{3^3} = -\frac{3}{81} - \frac{2}{27} = -\frac{1}{27} - \frac{2}{27} = -\frac{3}{27} = -\frac{1}{9}$.

$f'(1) = -\frac{3}{1^4} - \frac{2}{1^3} = -3 - 2 = -5$.

Ответ: $f'(3) = -\frac{1}{9}$, $f'(1) = -5$.

2)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1$.

Представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{1/2} + x^{-1} + 1$.

Находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции и тот факт, что производная константы равна нулю:

$f'(x) = (x^{1/2})' + (x^{-1})' + (1)' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 1 \cdot x^{-1-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-2}$.

Запишем производную в виде дробей и корней: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{9} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} - \frac{1}{9} = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3\sqrt{3} - 2}{18}$.

$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $f'(3) = \frac{3\sqrt{3}-2}{18}$, $f'(1) = -\frac{1}{2}$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^3}$.

Представим функцию в виде степеней: $f(x) = 3x^{-1/3} - 2x^{-3}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = 3(-\frac{1}{3})x^{-1/3 - 1} - 2(-3)x^{-3-1} = -x^{-4/3} + 6x^{-4}$.

Запишем производную в виде дробей и корней: $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} + \frac{6}{x^4}$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = -\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}} + \frac{6}{3^4} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{3}} + \frac{6}{81} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{3}} + \frac{2}{27}$.

$f'(1) = -\frac{1}{\sqrt[3]{1^4}} + \frac{6}{1^4} = -1 + 6 = 5$.

Ответ: $f'(3) = \frac{2}{27} - \frac{1}{3\sqrt[3]{3}}$, $f'(1) = 5$.

4)

Дана функция $f(x) = x^{3/2} - x^{-3/2}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} - (-\frac{3}{2})x^{-3/2 - 1} = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$.

Запишем производную с использованием корней: $f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^{5/2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{18\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{6\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} + 1}{6\sqrt{3}} = \frac{27+1}{6\sqrt{3}} = \frac{28}{6\sqrt{3}} = \frac{14}{3\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{9}$.

$f'(1) = \frac{3}{2}(1)^{1/2} + \frac{3}{2}(1)^{-5/2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$.

Ответ: $f'(3) = \frac{14\sqrt{3}}{9}$, $f'(1) = 3$.

5)

Дана функция $f(x) = (x-1)^2(x-3)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x-1)^2$ и $v(x) = x-3$. Тогда $u'(x) = 2(x-1)$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = 2(x-1)(x-3) + (x-1)^2 \cdot 1 = (x-1)[2(x-3) + (x-1)] = (x-1)(2x-6+x-1) = (x-1)(3x-7)$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = (3-1)(3 \cdot 3 - 7) = 2(9-7) = 2 \cdot 2 = 4$.

$f'(1) = (1-1)(3 \cdot 1 - 7) = 0 \cdot (-4) = 0$.

Ответ: $f'(3) = 4$, $f'(1) = 0$.

6)

Дана функция $f(x) = (x-3)^3(x-1)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x-3)^3$ и $v(x) = x-1$. Тогда $u'(x) = 3(x-3)^2$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = 3(x-3)^2(x-1) + (x-3)^3 \cdot 1 = (x-3)^2[3(x-1) + (x-3)] = (x-3)^2(3x-3+x-3) = (x-3)^2(4x-6)$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = (3-3)^2(4 \cdot 3 - 6) = 0 \cdot 6 = 0$.

$f'(1) = (1-3)^2(4 \cdot 1 - 6) = (-2)^2(4-6) = 4(-2) = -8$.

Ответ: $f'(3) = 0$, $f'(1) = -8$.

7)

Дана функция $f(x) = (x^2-1)(x+3)$.

Раскроем скобки: $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$.

Находим производную как производную многочлена:

$f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x - 1 - 0 = 3x^2 + 6x - 1$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 3 \cdot 9 + 18 - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$.

$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$.

Ответ: $f'(3) = 44$, $f'(1) = 8$.

8)

Дана функция $f(x) = (x^2-9)(x+1)$.

Раскроем скобки: $f(x) = x^3 + x^2 - 9x - 9$.

Находим производную как производную многочлена:

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 9$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = 3(3)^2 + 2(3) - 9 = 3 \cdot 9 + 6 - 9 = 27 + 6 - 9 = 24$.

$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 9 = 3 + 2 - 9 = -4$.

Ответ: $f'(3) = 24$, $f'(1) = -4$.