Страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти производную функции (179–180).

179. 1) $x^6$;

2) $x^{12}$;

3) $3x^4 + 2x^{13}$;

4) $7x^3 - 3x^7$;

5) $\frac{3}{x^4}$;

6) $x^3 + \frac{1}{x^2}$.

Для решения всех пунктов используется основная формула производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, а также правила дифференцирования суммы, разности и произведения функции на константу.

1) $x^6$

Для нахождения производной функции $y=x^6$ применим формулу производной степенной функции, где показатель степени $n=6$.

$y' = (x^6)' = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^5$.

Ответ: $6x^5$.

2) $x^{12}$

Для нахождения производной функции $y=x^{12}$ применим формулу производной степенной функции, где показатель степени $n=12$.

$y' = (x^{12})' = 12 \cdot x^{12-1} = 12x^{11}$.

Ответ: $12x^{11}$.

3) $3x^4 + 2x^{13}$

Для нахождения производной функции $y = 3x^4 + 2x^{13}$ используем правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$, правило вынесения константы $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и формулу производной степенной функции.

$y' = (3x^4 + 2x^{13})' = (3x^4)' + (2x^{13})' = 3 \cdot (x^4)' + 2 \cdot (x^{13})'$.

Вычисляем производные для каждого слагаемого:

$3 \cdot (4x^{4-1}) + 2 \cdot (13x^{13-1}) = 12x^3 + 26x^{12}$.

Ответ: $12x^3 + 26x^{12}$.

4) $7x^3 - 3x^7$

Для нахождения производной функции $y = 7x^3 - 3x^7$ используем правило производной разности $(u-v)' = u' - v'$ и другие правила, как в предыдущем пункте.

$y' = (7x^3 - 3x^7)' = (7x^3)' - (3x^7)' = 7 \cdot (x^3)' - 3 \cdot (x^7)'$.

Вычисляем производные:

$7 \cdot (3x^{3-1}) - 3 \cdot (7x^{7-1}) = 21x^2 - 21x^6$.

Ответ: $21x^2 - 21x^6$.

5) $\frac{3}{x^4}$

Сначала представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = \frac{3}{x^4} = 3x^{-4}$.

Теперь находим производную, используя правило вынесения константы и формулу для степенной функции, где $n=-4$.

$y' = (3x^{-4})' = 3 \cdot (x^{-4})' = 3 \cdot (-4x^{-4-1}) = -12x^{-5}$.

Запишем результат в виде дроби с положительным показателем степени в знаменателе:

$y' = -\frac{12}{x^5}$.

Ответ: $-\frac{12}{x^5}$.

6) $x^3 + \frac{1}{x^2}$

Представим второе слагаемое в виде степени с отрицательным показателем: $y = x^3 + x^{-2}$.

Применяем правило производной суммы и формулу производной степенной функции для каждого слагаемого.

$y' = (x^3 + x^{-2})' = (x^3)' + (x^{-2})' = 3x^{3-1} + (-2)x^{-2-1} = 3x^2 - 2x^{-3}$.

Запишем слагаемое с отрицательной степенью в виде дроби:

$y' = 3x^2 - \frac{2}{x^3}$.

Ответ: $3x^2 - \frac{2}{x^3}$.

180. 1) $\sqrt[3]{x};$

2) $\sqrt[5]{x};$

3) $2\sqrt[6]{x}-\sqrt[3]{x};$

4) $3\sqrt[6]{x}+7\sqrt[14]{x};$

5) $\frac{2}{5\sqrt{x}};$

6) $\frac{1}{x\sqrt{x}};$

7) $\frac{x^3+1}{x};$

8) $\frac{x^4-\sqrt{x}}{x}.$

1) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt[3]{x}$, представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/3}$.
Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Результат можно записать в виде корня: $y' = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

2) Представим функцию $y = \sqrt[5]{x}$ в виде степени: $y = x^{1/5}$.
Найдем производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}x^{-4/5}$.
Запишем ответ в виде корня: $y' = \frac{1}{5x^{4/5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.
Ответ: $\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

3) Дана функция $y = 2\sqrt[6]{x} - \sqrt[3]{x}$.
Перепишем ее в степенном виде: $y = 2x^{1/6} - x^{1/3}$.
Производная разности равна разности производных. Дифференцируем каждое слагаемое:
$y' = (2x^{1/6})' - (x^{1/3})' = 2 \cdot \frac{1}{6}x^{1/6-1} - \frac{1}{3}x^{1/3-1} = \frac{1}{3}x^{-5/6} - \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Запишем ответ с использованием корней: $y' = \frac{1}{3\sqrt[6]{x^5}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{3}x^{-5/6} - \frac{1}{3}x^{-2/3}$ или $\frac{1}{3\sqrt[6]{x^5}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

4) Дана функция $y = 3\sqrt[6]{x} + 7\sqrt[14]{x}$.
Представим ее в степенном виде: $y = 3x^{1/6} + 7x^{1/14}$.
Производная суммы равна сумме производных. Дифференцируем каждое слагаемое:
$y' = (3x^{1/6})' + (7x^{1/14})' = 3 \cdot \frac{1}{6}x^{1/6-1} + 7 \cdot \frac{1}{14}x^{1/14-1} = \frac{1}{2}x^{-5/6} + \frac{1}{2}x^{-13/14}$.
Запишем ответ с использованием корней: $y' = \frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$.
Ответ: $\frac{1}{2}x^{-5/6} + \frac{1}{2}x^{-13/14}$ или $\frac{1}{2\sqrt[6]{x^5}} + \frac{1}{2\sqrt[14]{x^{13}}}$.

5) Дана функция $y = \frac{2}{5\sqrt{x}}$.
Перепишем ее в степенном виде для удобства дифференцирования: $y = \frac{2}{5x^{1/2}} = \frac{2}{5}x^{-1/2}$.
Найдем производную:
$y' = (\frac{2}{5}x^{-1/2})' = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = -\frac{1}{5}x^{-3/2}$.
Преобразуем результат: $y' = -\frac{1}{5x^{3/2}} = -\frac{1}{5\sqrt{x^3}} = -\frac{1}{5x\sqrt{x}}$.
Ответ: $-\frac{1}{5x\sqrt{x}}$.

6) Дана функция $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$.
Сначала упростим знаменатель и представим функцию в виде степени: $y = \frac{1}{x^1 \cdot x^{1/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2}$.
Теперь найдем производную:
$y' = (x^{-3/2})' = -\frac{3}{2}x^{-3/2-1} = -\frac{3}{2}x^{-5/2}$.
Преобразуем результат: $y' = -\frac{3}{2x^{5/2}} = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$.
Ответ: $-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$.

7) Дана функция $y = \frac{x^3+1}{x}$.
Для упрощения дифференцирования разделим числитель на знаменатель почленно:
$y = \frac{x^3}{x} + \frac{1}{x} = x^2 + x^{-1}$.
Теперь найдем производную как сумму производных:
$y' = (x^2)' + (x^{-1})' = 2x^1 + (-1)x^{-1-1} = 2x - x^{-2}$.
Запишем ответ в виде дроби: $y' = 2x - \frac{1}{x^2}$.
Ответ: $2x - \frac{1}{x^2}$.

8) Дана функция $y = \frac{x^4 - \sqrt{x}}{x}$.
Разделим числитель на знаменатель почленно и представим корни в виде степеней:
$y = \frac{x^4}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = x^3 - \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^3 - x^{1/2 - 1} = x^3 - x^{-1/2}$.
Найдем производную как разность производных:
$y' = (x^3)' - (x^{-1/2})' = 3x^2 - (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = 3x^2 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$.
Запишем результат, используя корень: $y' = 3x^2 + \frac{1}{2x^{3/2}} = 3x^2 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $3x^2 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

181. Найти f'(3) и f'(1), если:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2};$

2) $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1;$

3) $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^3};$

4) $f(x) = x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{3}{2}};$

5) $f(x) = (x-1)^2 (x-3);$

6) $f(x) = (x-3)^3 (x-1);$

7) $f(x) = (x^2-1) (x+3);$

8) $f(x) = (x^2-9) (x+1).$

1)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{-3} + x^{-2}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-3})' + (x^{-2})' = -3x^{-3-1} - 2x^{-2-1} = -3x^{-4} - 2x^{-3}$.

Запишем производную в виде дробей: $f'(x) = -\frac{3}{x^4} - \frac{2}{x^3}$.

Теперь вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = -\frac{3}{3^4} - \frac{2}{3^3} = -\frac{3}{81} - \frac{2}{27} = -\frac{1}{27} - \frac{2}{27} = -\frac{3}{27} = -\frac{1}{9}$.

$f'(1) = -\frac{3}{1^4} - \frac{2}{1^3} = -3 - 2 = -5$.

Ответ: $f'(3) = -\frac{1}{9}$, $f'(1) = -5$.

2)

Дана функция $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1$.

Представим функцию в виде степеней: $f(x) = x^{1/2} + x^{-1} + 1$.

Находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции и тот факт, что производная константы равна нулю:

$f'(x) = (x^{1/2})' + (x^{-1})' + (1)' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 1 \cdot x^{-1-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-2}$.

Запишем производную в виде дробей и корней: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{9} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} - \frac{1}{9} = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3\sqrt{3} - 2}{18}$.

$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $f'(3) = \frac{3\sqrt{3}-2}{18}$, $f'(1) = -\frac{1}{2}$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} - \frac{2}{x^3}$.

Представим функцию в виде степеней: $f(x) = 3x^{-1/3} - 2x^{-3}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = 3(-\frac{1}{3})x^{-1/3 - 1} - 2(-3)x^{-3-1} = -x^{-4/3} + 6x^{-4}$.

Запишем производную в виде дробей и корней: $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} + \frac{6}{x^4}$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = -\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}} + \frac{6}{3^4} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{3}} + \frac{6}{81} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{3}} + \frac{2}{27}$.

$f'(1) = -\frac{1}{\sqrt[3]{1^4}} + \frac{6}{1^4} = -1 + 6 = 5$.

Ответ: $f'(3) = \frac{2}{27} - \frac{1}{3\sqrt[3]{3}}$, $f'(1) = 5$.

4)

Дана функция $f(x) = x^{3/2} - x^{-3/2}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} - (-\frac{3}{2})x^{-3/2 - 1} = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{3}{2}x^{-5/2}$.

Запишем производную с использованием корней: $f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^{5/2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{18\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{6\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} + 1}{6\sqrt{3}} = \frac{27+1}{6\sqrt{3}} = \frac{28}{6\sqrt{3}} = \frac{14}{3\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{9}$.

$f'(1) = \frac{3}{2}(1)^{1/2} + \frac{3}{2}(1)^{-5/2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$.

Ответ: $f'(3) = \frac{14\sqrt{3}}{9}$, $f'(1) = 3$.

5)

Дана функция $f(x) = (x-1)^2(x-3)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x-1)^2$ и $v(x) = x-3$. Тогда $u'(x) = 2(x-1)$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = 2(x-1)(x-3) + (x-1)^2 \cdot 1 = (x-1)[2(x-3) + (x-1)] = (x-1)(2x-6+x-1) = (x-1)(3x-7)$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = (3-1)(3 \cdot 3 - 7) = 2(9-7) = 2 \cdot 2 = 4$.

$f'(1) = (1-1)(3 \cdot 1 - 7) = 0 \cdot (-4) = 0$.

Ответ: $f'(3) = 4$, $f'(1) = 0$.

6)

Дана функция $f(x) = (x-3)^3(x-1)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x-3)^3$ и $v(x) = x-1$. Тогда $u'(x) = 3(x-3)^2$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = 3(x-3)^2(x-1) + (x-3)^3 \cdot 1 = (x-3)^2[3(x-1) + (x-3)] = (x-3)^2(3x-3+x-3) = (x-3)^2(4x-6)$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = (3-3)^2(4 \cdot 3 - 6) = 0 \cdot 6 = 0$.

$f'(1) = (1-3)^2(4 \cdot 1 - 6) = (-2)^2(4-6) = 4(-2) = -8$.

Ответ: $f'(3) = 0$, $f'(1) = -8$.

7)

Дана функция $f(x) = (x^2-1)(x+3)$.

Раскроем скобки: $f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$.

Находим производную как производную многочлена:

$f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x - 1 - 0 = 3x^2 + 6x - 1$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 3 \cdot 9 + 18 - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$.

$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$.

Ответ: $f'(3) = 44$, $f'(1) = 8$.

8)

Дана функция $f(x) = (x^2-9)(x+1)$.

Раскроем скобки: $f(x) = x^3 + x^2 - 9x - 9$.

Находим производную как производную многочлена:

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 9$.

Вычислим значения производной в точках $x=3$ и $x=1$.

$f'(3) = 3(3)^2 + 2(3) - 9 = 3 \cdot 9 + 6 - 9 = 27 + 6 - 9 = 24$.

$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 9 = 3 + 2 - 9 = -4$.

Ответ: $f'(3) = 24$, $f'(1) = -4$.