Страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

156. Составить разностное отношение, если:

1) $f(x) = 4x$;

2) $f(x) = x - 1$;

3) $f(x) = 4x^2$;

4) $f(x) = x^2 + 2$;

5) $f(x) = x^3 - x^2$;

6) $f(x) = 2x^3 + x$.

Разностное отношение для функции $f(x)$ — это отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$. Оно вычисляется по формуле:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Найдем разностное отношение для каждой из заданных функций.

1) Для функции $f(x) = 4x$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = 4(x + \Delta x) = 4x + 4\Delta x$.

$\Delta f = (4x + 4\Delta x) - 4x = 4\Delta x$.

Теперь составим разностное отношение:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4\Delta x}{\Delta x} = 4$.

Ответ: $4$.

2) Для функции $f(x) = x - 1$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x) - 1$.

$\Delta f = ((x + \Delta x) - 1) - (x - 1) = x + \Delta x - 1 - x + 1 = \Delta x$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Ответ: $1$.

3) Для функции $f(x) = 4x^2$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = 4(x + \Delta x)^2 = 4(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = 4x^2 + 8x\Delta x + 4(\Delta x)^2$.

$\Delta f = (4x^2 + 8x\Delta x + 4(\Delta x)^2) - 4x^2 = 8x\Delta x + 4(\Delta x)^2$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{8x\Delta x + 4(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(8x + 4\Delta x)}{\Delta x} = 8x + 4\Delta x$.

Ответ: $8x + 4\Delta x$.

4) Для функции $f(x) = x^2 + 2$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2$.

$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2) - (x^2 + 2) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$.

Ответ: $2x + \Delta x$.

5) Для функции $f(x) = x^3 - x^2$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^3 - (x + \Delta x)^2 = (x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2)$.

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2) - (x^3 - x^2)$.

$\Delta f = 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2x - \Delta x)}{\Delta x} = 3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2x - \Delta x$.

Ответ: $3x^2 - 2x + (3x - 1)\Delta x + (\Delta x)^2$.

6) Для функции $f(x) = 2x^3 + x$.

Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^3 + (x + \Delta x) = 2(x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + x + \Delta x$.

$f(x + \Delta x) = 2x^3 + 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 + x + \Delta x$.

$\Delta f = (2x^3 + 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 + x + \Delta x) - (2x^3 + x)$.

$\Delta f = 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 + \Delta x$.

Разностное отношение равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x^2 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2 + 1)}{\Delta x} = 6x^2 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2 + 1$.

Ответ: $6x^2 + 1 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

157. Используя определение производной, найти производную функции:

1) $f(x) = 2x + 3$;

2) $f(x) = 5x - 6$;

3) $f(x) = -3x^2 + 2$;

4) $f(x) = 3x^2 + 5x$.

Определение производной функции $f(x)$ в точке $x$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Используем это определение для нахождения производных заданных функций.

1) $f(x) = 2x + 3$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x) + 3 = 2x + 2\Delta x + 3$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (2x + 2\Delta x + 3) - (2x + 3) = 2x + 2\Delta x + 3 - 2x - 3 = 2\Delta x$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 2 = 2$

Ответ: $2$

2) $f(x) = 5x - 6$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 5(x + \Delta x) - 6 = 5x + 5\Delta x - 6$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (5x + 5\Delta x - 6) - (5x - 6) = 5x + 5\Delta x - 6 - 5x + 6 = 5\Delta x$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{5\Delta x}{\Delta x} = 5$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 5 = 5$

Ответ: $5$

3) $f(x) = -3x^2 + 2$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = -3(x + \Delta x)^2 + 2 = -3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 2 = -3x^2 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2 + 2$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (-3x^2 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2 + 2) - (-3x^2 + 2) = -3x^2 - 6x\Delta x - 3(\Delta x)^2 + 2 + 3x^2 - 2 = -6x\Delta x - 3(\Delta x)^2$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-6x\Delta x - 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-6x - 3\Delta x)}{\Delta x} = -6x - 3\Delta x$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-6x - 3\Delta x) = -6x - 3 \cdot 0 = -6x$

Ответ: $-6x$

4) $f(x) = 3x^2 + 5x$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^2 + 5(x + \Delta x) = 3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 5x + 5\Delta x = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x) - (3x^2 + 5x) = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x - 3x^2 - 5x = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5\Delta x$

3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 5\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x + 3\Delta x + 5)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x + 5$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x + 5) = 6x + 3 \cdot 0 + 5 = 6x + 5$

Ответ: $6x + 5$

158. С помощью формулы $(kx + b)' = k$ (задача 2) найти производ-ную функции:

1) $f(x) = 3x$;

2) $f(x) = -4x$;

3) $f(x) = -5x + 7$;

4) $f(x) = -7x + 8$.

Для нахождения производных данных функций воспользуемся общей формулой для производной линейной функции: $(kx + b)' = k$.

1) Для функции $f(x) = 3x$, мы можем представить ее в виде $f(x) = kx + b$, где коэффициент $k = 3$ и свободный член $b = 0$. Применяя формулу, получаем производную: $f'(x) = (3x + 0)' = 3$.
Ответ: 3

2) Для функции $f(x) = -4x$, мы можем представить ее в виде $f(x) = kx + b$, где $k = -4$ и $b = 0$. Производная этой функции будет: $f'(x) = (-4x + 0)' = -4$.
Ответ: -4

3) Функция $f(x) = -5x + 7$ уже представлена в виде $f(x) = kx + b$. Здесь коэффициент $k = -5$ и свободный член $b = 7$. Согласно формуле, ее производная равна: $f'(x) = (-5x + 7)' = -5$.
Ответ: -5

4) Для функции $f(x) = -7x + 8$ мы имеем линейную функцию вида $f(x) = kx + b$, где $k = -7$ и $b = 8$. Используя формулу, находим производную: $f'(x) = (-7x + 8)' = -7$.
Ответ: -7

159. Тело движется по закону $s (t) = 1 + 5t$. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени:

1) от $t_1 = 2$ до $t_2 = 5$;

2) от $t_1 = 0,9$ до $t_2 = 1$.

Средняя скорость движения $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется как отношение пройденного пути $\Delta s$ к затраченному времени $\Delta t$. Формула для расчета средней скорости:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

В данной задаче закон движения тела задан уравнением $s(t) = 1 + 5t$.

1) от $t_1 = 2$ до $t_2 = 5$

Сначала определим положение тела в начальный и конечный моменты времени:

Положение в момент $t_1 = 2$:

$s(t_1) = s(2) = 1 + 5 \cdot 2 = 1 + 10 = 11$

Положение в момент $t_2 = 5$:

$s(t_2) = s(5) = 1 + 5 \cdot 5 = 1 + 25 = 26$

Теперь вычислим пройденный путь $\Delta s$ и промежуток времени $\Delta t$:

$\Delta s = s(t_2) - s(t_1) = 26 - 11 = 15$

$\Delta t = t_2 - t_1 = 5 - 2 = 3$

Подставим найденные значения в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{15}{3} = 5$

Ответ: 5

2) от $t_1 = 0,9$ до $t_2 = 1$

Аналогично первому пункту, определим положение тела в начальный и конечный моменты времени:

Положение в момент $t_1 = 0,9$:

$s(t_1) = s(0,9) = 1 + 5 \cdot 0,9 = 1 + 4,5 = 5,5$

Положение в момент $t_2 = 1$:

$s(t_2) = s(1) = 1 + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = 6$

Теперь вычислим пройденный путь $\Delta s$ и промежуток времени $\Delta t$:

$\Delta s = s(t_2) - s(t_1) = 6 - 5,5 = 0,5$

$\Delta t = t_2 - t_1 = 1 - 0,9 = 0,1$

Подставим найденные значения в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,5}{0,1} = 5$

Ответ: 5

160. Закон движения задан формулой:

1) $s(t) = 2t + 1$; 2) $s(t) = 0,3t - 1$.

Найти среднюю скорость движения от $t_1 = 2$ до $t_2 = 8$ и скорость движения в момент $t_1 = 2$ и в момент $t_2 = 8$.

1) Для закона движения $s(t) = 2t + 1$

Для нахождения средней скорости движения на промежутке времени от $t_1 = 2$ до $t_2 = 8$ воспользуемся формулой средней скорости:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Сначала найдем положения тела в моменты времени $t_1$ и $t_2$:
$s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
$s(t_2) = s(8) = 2 \cdot 8 + 1 = 16 + 1 = 17$

Теперь подставим найденные значения в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{17 - 5}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2$

Для нахождения мгновенной скорости движения в конкретный момент времени необходимо найти производную функции пути $s(t)$ по времени $t$. Мгновенная скорость $v(t)$ равна $s'(t)$.
$v(t) = s'(t) = (2t + 1)' = 2$

Поскольку производная является постоянной величиной (константой), мгновенная скорость не зависит от времени. Это означает, что движение является равномерным.
Таким образом, скорость в момент $t_1 = 2$ равна $v(2) = 2$, и в момент $t_2 = 8$ скорость также равна $v(8) = 2$.

Ответ: средняя скорость движения от $t_1=2$ до $t_2=8$ равна 2; скорость в момент $t_1=2$ равна 2; скорость в момент $t_2=8$ равна 2.

2) Для закона движения $s(t) = 0.3t - 1$

Аналогично первому пункту, найдем среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 2$ до $t_2 = 8$.
Найдем положения тела в эти моменты времени:
$s(t_1) = s(2) = 0.3 \cdot 2 - 1 = 0.6 - 1 = -0.4$
$s(t_2) = s(8) = 0.3 \cdot 8 - 1 = 2.4 - 1 = 1.4$

Вычислим среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{1.4 - (-0.4)}{8 - 2} = \frac{1.4 + 0.4}{6} = \frac{1.8}{6} = 0.3$

Теперь найдем мгновенную скорость, взяв производную от функции пути $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (0.3t - 1)' = 0.3$

Как и в предыдущем случае, мгновенная скорость является константой, что говорит о равномерном движении.
Следовательно, скорость в момент $t_1 = 2$ равна $v(2) = 0.3$, и в момент $t_2 = 8$ скорость также равна $v(8) = 0.3$.

Ответ: средняя скорость движения от $t_1=2$ до $t_2=8$ равна 0.3; скорость в момент $t_1=2$ равна 0.3; скорость в момент $t_2=8$ равна 0.3.

161. Найти мгновенную скорость движения точки в каждый момент времени t, если закон её движения s (t) задан формулой:

1) $s (t) = \frac{3}{2} t^2$;

2) $s (t) = 5t^2$.

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ представляет собой первую производную от закона движения (пути) $s(t)$ по времени $t$. Для нахождения скорости необходимо найти производную $s'(t)$.

Основная формула для дифференцирования, которая нам понадобится, это производная степенной функции: $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$.

1) Дан закон движения точки: $s(t) = \frac{3}{2}t^2$.

Чтобы найти мгновенную скорость $v(t)$, возьмем производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{3}{2}t^2\right)'$

Выносим константу $\frac{3}{2}$ за знак производной и дифференцируем $t^2$:

$v(t) = \frac{3}{2} \cdot (t^2)' = \frac{3}{2} \cdot 2t^{2-1} = \frac{3}{2} \cdot 2t = 3t$.

Следовательно, мгновенная скорость в любой момент времени $t$ определяется формулой $v(t) = 3t$.

Ответ: $v(t) = 3t$.

2) Дан закон движения точки: $s(t) = 5t^2$.

Чтобы найти мгновенную скорость $v(t)$, возьмем производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (5t^2)'$

Выносим константу $5$ за знак производной и дифференцируем $t^2$:

$v(t) = 5 \cdot (t^2)' = 5 \cdot 2t^{2-1} = 5 \cdot 2t = 10t$.

Следовательно, мгновенная скорость в любой момент времени $t$ определяется формулой $v(t) = 10t$.

Ответ: $v(t) = 10t$.

162. Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x$.

1) Используя определение производной, найти $f'(x)$.

2) Найти значение $f'(x)$ в точке $x = 0,1$.

1)

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x$ воспользуемся определением производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Сначала найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.

Выразим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{3}(x + \Delta x)^3 - \frac{1}{2}(x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x)$

Раскроем скобки, используя формулы куба и квадрата суммы:

$(x + \Delta x)^3 = x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

Подставим раскрытые выражения:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{3}(x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - \frac{1}{2}(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 3(x + \Delta x)$

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2\Delta x + x(\Delta x)^2 + \frac{1}{3}(\Delta x)^3 - \frac{1}{2}x^2 - x\Delta x - \frac{1}{2}(\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x$

Теперь найдем разность $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (\frac{1}{3}x^3 + x^2\Delta x + x(\Delta x)^2 + \frac{1}{3}(\Delta x)^3 - \frac{1}{2}x^2 - x\Delta x - \frac{1}{2}(\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x) - (\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x)$

Упростим выражение, сократив подобные слагаемые:

$\Delta f = x^2\Delta x - x\Delta x + 3\Delta x + x(\Delta x)^2 - \frac{1}{2}(\Delta x)^2 + \frac{1}{3}(\Delta x)^3$

Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$\Delta f = \Delta x (x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2)$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2)}{\Delta x} = x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2$

Наконец, найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2)$

Так как при $\Delta x \to 0$ все слагаемые, содержащие $\Delta x$ в качестве множителя, стремятся к нулю, получаем:

$f'(x) = x^2 - x + 3 + 0 - 0 + 0 = x^2 - x + 3$

Ответ: $f'(x) = x^2 - x + 3$

2)

Чтобы найти значение производной $f'(x)$ в точке $x = 0,1$, подставим это значение в найденное в предыдущем пункте выражение для производной.

$f'(x) = x^2 - x + 3$

Подставляем $x = 0,1$:

$f'(0,1) = (0,1)^2 - 0,1 + 3$

$f'(0,1) = 0,01 - 0,1 + 3$

$f'(0,1) = 2,91$

Ответ: $2,91$