Номер 162, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Определение производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 162, страница 75.

Условие.

162. Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x$.

1) Используя определение производной, найти $f'(x)$.

2) Найти значение $f'(x)$ в точке $x = 0,1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x$ воспользуемся определением производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Сначала найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.

Выразим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{3}(x + \Delta x)^3 - \frac{1}{2}(x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x)$

Раскроем скобки, используя формулы куба и квадрата суммы:

$(x + \Delta x)^3 = x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

Подставим раскрытые выражения:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{3}(x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - \frac{1}{2}(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 3(x + \Delta x)$

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2\Delta x + x(\Delta x)^2 + \frac{1}{3}(\Delta x)^3 - \frac{1}{2}x^2 - x\Delta x - \frac{1}{2}(\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x$

Теперь найдем разность $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (\frac{1}{3}x^3 + x^2\Delta x + x(\Delta x)^2 + \frac{1}{3}(\Delta x)^3 - \frac{1}{2}x^2 - x\Delta x - \frac{1}{2}(\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x) - (\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x)$

Упростим выражение, сократив подобные слагаемые:

$\Delta f = x^2\Delta x - x\Delta x + 3\Delta x + x(\Delta x)^2 - \frac{1}{2}(\Delta x)^2 + \frac{1}{3}(\Delta x)^3$

Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$\Delta f = \Delta x (x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2)$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2)}{\Delta x} = x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2$

Наконец, найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (x^2 - x + 3 + x\Delta x - \frac{1}{2}\Delta x + \frac{1}{3}(\Delta x)^2)$

Так как при $\Delta x \to 0$ все слагаемые, содержащие $\Delta x$ в качестве множителя, стремятся к нулю, получаем:

$f'(x) = x^2 - x + 3 + 0 - 0 + 0 = x^2 - x + 3$

Ответ: $f'(x) = x^2 - x + 3$

2)

Чтобы найти значение производной $f'(x)$ в точке $x = 0,1$, подставим это значение в найденное в предыдущем пункте выражение для производной.

$f'(x) = x^2 - x + 3$

Подставляем $x = 0,1$:

$f'(0,1) = (0,1)^2 - 0,1 + 3$

$f'(0,1) = 0,01 - 0,1 + 3$

$f'(0,1) = 2,91$

Ответ: $2,91$