Номер 168, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 168, страница 79.

Условие.

Найти $f'(1)$ (168–169).

168. 1) $f(x) = (2x-3)^2(x-1)$;

2) $f(x) = (x+1)^3(x+2).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = (2x - 3)^2(x - 1)$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (2x - 3)^2$ и $v(x) = (x - 1)$.

Найдём производную $u'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = ((2x - 3)^2)' = 2 \cdot (2x - 3)^{2-1} \cdot (2x - 3)' = 2(2x - 3) \cdot 2 = 4(2x - 3)$.

Найдём производную $v'(x)$: $v'(x) = (x - 1)' = 1$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 4(2x - 3)(x - 1) + (2x - 3)^2 \cdot 1$.

Найдём значение производной в точке $x = 1$: $f'(1) = 4(2 \cdot 1 - 3)(1 - 1) + (2 \cdot 1 - 3)^2 = 4(-1)(0) + (-1)^2 = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = (x + 1)^3(x + 2)$.

Для нахождения производной $f'(x)$ также воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x + 1)^3$ и $v(x) = (x + 2)$.

Найдём производную $u'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции: $u'(x) = ((x + 1)^3)' = 3 \cdot (x + 1)^{3-1} \cdot (x + 1)' = 3(x + 1)^2 \cdot 1 = 3(x + 1)^2$.

Найдём производную $v'(x)$: $v'(x) = (x + 2)' = 1$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3(x + 1)^2(x + 2) + (x + 1)^3 \cdot 1$.

Найдём значение производной в точке $x = 1$: $f'(1) = 3(1 + 1)^2(1 + 2) + (1 + 1)^3 = 3 \cdot (2)^2 \cdot 3 + (2)^3 = 3 \cdot 4 \cdot 3 + 8 = 36 + 8 = 44$.

Ответ: 44