Номер 163, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 163, страница 79.

Условие.

163. Найти производную функции:

1) $x^2 + x$;

2) $x^2 - x$;

3) $8x^2$;

4) $-27x^2$;

5) $-4x^3$;

6) $0,6x^3$;

7) $13x^2 + 26$;

8) $8x^2 - 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = x^2 + x$ воспользуемся правилами дифференцирования.
Используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.
Используем правило для степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
Применяя эти правила, получаем:
$y' = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)'$
Производная от $x^2$ равна $2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
Производная от $x$ (что то же самое, что $x^1$) равна $1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$.
Складываем результаты: $y' = 2x + 1$.
Ответ: $2x + 1$

2) Для функции $y = x^2 - x$ используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
$y' = (x^2 - x)' = (x^2)' - (x)'$
Как и в предыдущем пункте, $(x^2)' = 2x$ и $(x)' = 1$.
Вычитаем результаты: $y' = 2x - 1$.
Ответ: $2x - 1$

3) Для функции $y = 8x^2$ используем правило вынесения константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.
$y' = (8x^2)' = 8 \cdot (x^2)'$
Мы знаем, что $(x^2)' = 2x$.
Умножаем константу на производную: $y' = 8 \cdot (2x) = 16x$.
Ответ: $16x$

4) Для функции $y = -27x^2$ действуем аналогично предыдущему пункту.
$y' = (-27x^2)' = -27 \cdot (x^2)'$
Подставляем производную от $x^2$: $y' = -27 \cdot (2x) = -54x$.
Ответ: $-54x$

5) Для функции $y = -4x^3$ применяем те же правила.
Сначала находим производную степенной функции: $(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.
Теперь находим производную всей функции:
$y' = (-4x^3)' = -4 \cdot (x^3)' = -4 \cdot (3x^2) = -12x^2$.
Ответ: $-12x^2$

6) Для функции $y = 0,6x^3$ находим производную аналогично.
$y' = (0,6x^3)' = 0,6 \cdot (x^3)'$
Производная от $x^3$ равна $3x^2$.
Подставляем и вычисляем: $y' = 0,6 \cdot (3x^2) = 1,8x^2$.
Ответ: $1,8x^2$

7) Для функции $y = 13x^2 + 26$ используем правило дифференцирования суммы и правило производной константы $(c)'=0$.
$y' = (13x^2 + 26)' = (13x^2)' + (26)'$
Производная первого слагаемого: $(13x^2)' = 13 \cdot (x^2)' = 13 \cdot (2x) = 26x$.
Производная второго слагаемого (константы): $(26)' = 0$.
Складываем результаты: $y' = 26x + 0 = 26x$.
Ответ: $26x$

8) Для функции $y = 8x^2 - 16$ используем правило дифференцирования разности и правило производной константы.
$y' = (8x^2 - 16)' = (8x^2)' - (16)'$
Производная первого слагаемого: $(8x^2)' = 8 \cdot (x^2)' = 8 \cdot (2x) = 16x$.
Производная второго слагаемого (константы): $(16)' = 0$.
Вычитаем результаты: $y' = 16x - 0 = 16x$.
Ответ: $16x$