Номер 165, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Правила дифференцирования. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 165, страница 79.

Условие.

165. Найти $f'(0)$ и $f'(2)$, если:

1) $f(x) = x^2 - 2x + 1;$

2) $f(x) = x^3 - 2x;$

3) $f(x) = -x^3 + 2x^2;$

4) $f(x) = 3x^2 + x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо для каждой функции сначала найти ее производную $f'(x)$, а затем подставить в полученное выражение значения $x=0$ и $x=2$.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 2x + 1$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правила дифференцирования суммы и константы.

$f'(x) = (x^2 - 2x + 1)' = (x^2)' - (2x)' + (1)' = 2x^{2-1} - 2x^{1-1} + 0 = 2x - 2$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2$.

При $x=2$:

$f'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $f'(0) = -2$, $f'(2) = 2$.

2) Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 2x)' = (x^3)' - (2x)' = 3x^{3-1} - 2x^{1-1} = 3x^2 - 2$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2$.

При $x=2$:

$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.

Ответ: $f'(0) = -2$, $f'(2) = 10$.

3) Дана функция $f(x) = -x^3 + 2x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-x^3 + 2x^2)' = (-x^3)' + (2x^2)' = -3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} = -3x^2 + 4x$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = -3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$.

При $x=2$:

$f'(2) = -3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = -3 \cdot 4 + 8 = -12 + 8 = -4$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(2) = -4$.

4) Дана функция $f(x) = 3x^2 + x + 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 + x + 1)' = (3x^2)' + (x)' + (1)' = 3 \cdot 2x^{2-1} + 1x^{1-1} + 0 = 6x + 1$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 6 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.

При $x=2$:

$f'(2) = 6 \cdot 2 + 1 = 12 + 1 = 13$.

Ответ: $f'(0) = 1$, $f'(2) = 13$.