Номер 171, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 171, страница 80.

Условие.

171. Записать формулой функцию $f(g(x))$; найти её область определения и множество значений, если:

1) $f(y) = y^2$, $y = g(x) = x + 1;

2) $f(y) = \lg y$, $y = g(x) = \sqrt{x - 1};

3) $f(y) = \frac{y+1}{y-2}$, $y = g(x) = \log_2 x;

4) $f(y) = \sqrt{y}$, $y = g(x) = \frac{x+2}{x-3}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Даны функции $f(y) = y^2$ и $y = g(x) = x+1$.

Чтобы найти формулу для сложной функции $f(g(x))$, нужно подставить выражение для $g(x)$ в функцию $f(y)$ вместо $y$:
$f(g(x)) = (g(x))^2 = (x+1)^2$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Область определения сложной функции $f(g(x))$ состоит из всех $x$, для которых $x$ принадлежит области определения $g(x)$, и $g(x)$ принадлежит области определения $f(y)$.
Область определения функции $g(x) = x+1$ — все действительные числа: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Область определения функции $f(y) = y^2$ — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Поскольку $g(x)$ может принимать любое действительное значение, и все эти значения входят в область определения $f(y)$, то область определения $f(g(x))$ совпадает с областью определения $g(x)$.
Таким образом, $D(f(g(x))) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Множество значений функции $z = (x+1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, минимальное значение функции достигается при $x+1=0$, то есть $x=-1$, и равно $0$. Максимального значения функция не имеет.
Следовательно, множество значений $E(f(g(x))) = [0; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = (x+1)^2$; область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

2) Даны функции $f(y) = \lg y$ и $y = g(x) = \sqrt{x-1}$.

Формула для сложной функции $f(g(x))$:
$f(g(x)) = \lg(g(x)) = \lg(\sqrt{x-1})$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Область определения определяется системой неравенств, исходя из ограничений на области определения "внешней" и "внутренней" функций:
1. Для $g(x) = \sqrt{x-1}$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Для $f(y) = \lg y$: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $y > 0$. В нашем случае $y = g(x) = \sqrt{x-1}$, поэтому $\sqrt{x-1} > 0$.
Объединяем условия в систему:
$$ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ \sqrt{x-1} > 0 \end{cases} $$ Из второго неравенства $\sqrt{x-1} > 0$ следует, что $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Это условие является более строгим и поглощает первое ($x \ge 1$).
Таким образом, область определения $D(f(g(x))) = (1; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Найдем множество значений "внутренней" функции $y = g(x) = \sqrt{x-1}$ на области определения сложной функции, то есть при $x \in (1; +\infty)$.
Если $x > 1$, то $x-1 > 0$, и $y = \sqrt{x-1} > 0$. Таким образом, множество значений $g(x)$ есть $(0; +\infty)$.
Теперь найдем множество значений "внешней" функции $z = f(y) = \lg y$ для аргумента $y \in (0; +\infty)$.
Функция десятичного логарифма на всей своей области определения $(0; +\infty)$ принимает все действительные значения.
Следовательно, множество значений $E(f(g(x))) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = \lg(\sqrt{x-1})$; область определения: $(1; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

3) Даны функции $f(y) = \frac{y+1}{y-2}$ и $y = g(x) = \log_2 x$.

Формула для сложной функции $f(g(x))$:
$f(g(x)) = \frac{g(x)+1}{g(x)-2} = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2}$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Условия для области определения:
1. Аргумент логарифма в $g(x)$ должен быть положительным: $x > 0$.
2. Знаменатель в $f(g(x))$ не должен быть равен нулю: $g(x) - 2 \neq 0 \implies \log_2 x \neq 2$.
Решая $\log_2 x \neq 2$, получаем $x \neq 2^2 = 4$.
Объединяя условия, получаем область определения: $x > 0$ и $x \neq 4$.
Таким образом, $D(f(g(x))) = (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Пусть $z = f(g(x)) = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2}$. Обозначим $y = \log_2 x$.
Когда $x$ пробегает область определения $(0; 4) \cup (4; +\infty)$, переменная $y = \log_2 x$ пробегает все действительные значения, кроме $y = \log_2 4 = 2$. То есть $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Рассмотрим функцию $z = \frac{y+1}{y-2}$. Чтобы найти ее множество значений, выразим $y$ через $z$:
$z(y-2) = y+1$
$zy - 2z = y+1$
$zy - y = 2z+1$
$y(z-1) = 2z+1$
$y = \frac{2z+1}{z-1}$
Это выражение определено для всех $z$, кроме $z=1$. Это означает, что функция $z(y)$ может принимать любое значение, кроме 1.
Следовательно, множество значений $E(f(g(x))) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = \frac{\log_2 x + 1}{\log_2 x - 2}$; область определения: $(0; 4) \cup (4; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

4) Даны функции $f(y) = \sqrt{y}$ и $y = g(x) = \frac{x+2}{x-3}$.

Формула для сложной функции $f(g(x))$:
$f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$.

Область определения $D(f(g(x)))$
Условия для области определения:
1. $x$ должен входить в область определения $g(x)$, т.е. знаменатель не равен нулю: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
2. Значение $g(x)$ должно входить в область определения $f(y)$, т.е. подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $g(x) = \frac{x+2}{x-3} \ge 0$.
Решим неравенство $\frac{x+2}{x-3} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-2$ и $x=3$.
Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.
- При $x \in (-\infty; -2]$, дробь $\ge 0$. (Например, при $x=-3$, $\frac{-1}{-6} > 0$. $x=-2$ включаем, т.к. неравенство нестрогое).
- При $x \in (-2; 3)$, дробь $< 0$. (Например, при $x=0$, $\frac{2}{-3} < 0$).
- При $x \in (3; +\infty)$, дробь $> 0$. (Например, при $x=4$, $\frac{6}{1} > 0$. $x=3$ исключаем, т.к. это корень знаменателя).
Следовательно, область определения $D(f(g(x))) = (-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$.

Множество значений $E(f(g(x)))$
Значение функции $z = \sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$ всегда неотрицательно: $z \ge 0$.
Найдем, какие значения принимает $y = g(x) = \frac{x+2}{x-3}$ на области определения $D(f(g(x)))$.
Преобразуем $g(x)$: $y = \frac{x-3+5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3}$.
- Если $x \in (3; +\infty)$, то $x-3 \in (0; +\infty)$, $\frac{5}{x-3} \in (0; +\infty)$, и $y = 1 + \frac{5}{x-3} \in (1; +\infty)$.
- Если $x \in (-\infty; -2]$, то $x-3 \in (-\infty; -5]$, $\frac{5}{x-3} \in [-1; 0)$, и $y = 1 + \frac{5}{x-3} \in [0; 1)$.
Итак, множество значений $g(x)$ на $D(f(g(x)))$ есть $[0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Теперь найдем множество значений $z=\sqrt{y}$ для $y \in [0; 1) \cup (1; +\infty)$. Так как функция $z=\sqrt{y}$ возрастающая:
- Если $y \in [0; 1)$, то $\sqrt{y} \in [\sqrt{0}; \sqrt{1}) = [0; 1)$.
- Если $y \in (1; +\infty)$, то $\sqrt{y} \in (\sqrt{1}; \infty) = (1; +\infty)$.
Объединяя эти множества, получаем $E(f(g(x))) = [0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$; область определения: $(-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$; множество значений: $[0; 1) \cup (1; +\infty)$.