Номер 167, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 167, страница 79.

Условие.

167. Найти производную функции:

1) $(x - 3)^2x^3$;

2) $(x^2 - 2x)(x^3 + x)$;

3) $(x + 3)x^3$;

4) $(x - 4)3x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = (x-3)^2 x^3$ сначала упростим ее. Для этого раскроем скобки.
Сначала возведем в квадрат двучлен $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
Теперь умножим полученный многочлен на $x^3$:
$y = (x^2 - 6x + 9)x^3 = x^2 \cdot x^3 - 6x \cdot x^3 + 9 \cdot x^3 = x^5 - 6x^4 + 9x^3$.
Теперь, когда функция представлена в виде многочлена, найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и свойство линейности производной:
$y' = (x^5 - 6x^4 + 9x^3)' = (x^5)' - (6x^4)' + (9x^3)' = 5x^{5-1} - 6 \cdot 4x^{4-1} + 9 \cdot 3x^{3-1} = 5x^4 - 24x^3 + 27x^2$.
Ответ: $5x^4 - 24x^3 + 27x^2$.

2) Для функции $y = (x^2 - 2x)(x^3 + x)$ также сначала упростим выражение, перемножив многочлены:
$y = x^2(x^3 + x) - 2x(x^3 + x) = (x^5 + x^3) - (2x^4 + 2x^2) = x^5 - 2x^4 + x^3 - 2x^2$.
Теперь найдем производную полученного многочлена:
$y' = (x^5 - 2x^4 + x^3 - 2x^2)' = (x^5)' - (2x^4)' + (x^3)' - (2x^2)' = 5x^{4} - 2 \cdot 4x^{3} + 3x^{2} - 2 \cdot 2x^{1}$.
$y' = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x$.
Ответ: $5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 4x$.

3) Для функции $y = (x + 3)x^3$ сначала раскроем скобки:
$y = x \cdot x^3 + 3 \cdot x^3 = x^4 + 3x^3$.
Найдем производную полученного многочлена:
$y' = (x^4 + 3x^3)' = (x^4)' + (3x^3)' = 4x^{3} + 3 \cdot 3x^{2} = 4x^3 + 9x^2$.
Ответ: $4x^3 + 9x^2$.

4) Для функции $y = (x - 4)3x^2$ сначала упростим выражение:
$y = 3x^2(x - 4) = 3x^2 \cdot x - 3x^2 \cdot 4 = 3x^3 - 12x^2$.
Найдем производную полученного многочлена:
$y' = (3x^3 - 12x^2)' = (3x^3)' - (12x^2)' = 3 \cdot 3x^{2} - 12 \cdot 2x^{1} = 9x^2 - 24x$.
Ответ: $9x^2 - 24x$.