Номер 170, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 170, страница 79.

Условие.

170. Найти производную функции:

1) $ \frac{x^3 + x^2 + x}{x+1}; $

2) $ \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x-1}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдем производную функции $y = \frac{x^3 + x^2 + x}{x+1}$.
Для начала, упростим исходную функцию. Выделим в числителе слагаемое, кратное знаменателю:
$x^3 + x^2 + x = (x^3 + x^2) + x = x^2(x+1) + x$.
Теперь разделим числитель на знаменатель почленно:
$y = \frac{x^2(x+1) + x}{x+1} = \frac{x^2(x+1)}{x+1} + \frac{x}{x+1} = x^2 + \frac{x}{x+1}$.
Теперь находить производную проще, используя правило суммы производных $(u+v)' = u' + v'$:
$y' = (x^2)' + (\frac{x}{x+1})'$.
Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2x$.
Для нахождения производной второго слагаемого воспользуемся правилом производной частного $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$:
$(\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
Складывая полученные результаты, получаем итоговую производную:
$y' = 2x + \frac{1}{(x+1)^2}$.
Ответ: $2x + \frac{1}{(x+1)^2}$.

2) Найдем производную функции $y = \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x-1}$.
В данном случае упрощение функции не очевидно, поэтому применим правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 2x^3 + 3x^2 + 1$ и $v(x) = x-1$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (2x^3 + 3x^2 + 1)' = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 + 6x$.
$v'(x) = (x-1)' = 1$.
Теперь подставим эти выражения в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(6x^2+6x)(x-1) - (2x^3+3x^2+1) \cdot 1}{(x-1)^2}$.
Упростим выражение в числителе. Сначала раскроем скобки:
$(6x^2+6x)(x-1) = 6x^3 - 6x^2 + 6x^2 - 6x = 6x^3 - 6x$.
Теперь выполним вычитание в числителе:
$(6x^3 - 6x) - (2x^3+3x^2+1) = 6x^3 - 6x - 2x^3 - 3x^2 - 1 = 4x^3 - 3x^2 - 6x - 1$.
Таким образом, производная функции равна:
$y' = \frac{4x^3 - 3x^2 - 6x - 1}{(x-1)^2}$.
Ответ: $\frac{4x^3 - 3x^2 - 6x - 1}{(x-1)^2}$.