Номер 169, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 169, страница 79.

Условие.

169. 1) $f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$,

2) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$,

3) $f(x) = \frac{2x - 3}{5 - 4x}$,

4) $f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (правилом частного): $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 2x + 1$.

Сначала найдем производные числителя $u(x)$ и знаменателя $v(x)$:

$u'(x) = (2x - 1)' = 2$

$v'(x) = (2x + 1)' = 2$

Теперь подставим эти производные в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2 \cdot (2x + 1) - (2x - 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{4x + 2 - (4x - 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4}{(2x + 1)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{(2x + 1)^2}$

2)

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ применим то же правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Подставим найденные значения в формулу:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

3)

Найдем производную функции $f(x) = \frac{2x - 3}{5 - 4x}$, используя правило частного.

Пусть $u(x) = 2x - 3$ и $v(x) = 5 - 4x$.

Вычислим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (2x - 3)' = 2$

$v'(x) = (5 - 4x)' = -4$

Подставим найденные производные в формулу частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2(5 - 4x) - (2x - 3)(-4)}{(5 - 4x)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{10 - 8x - (-8x + 12)}{(5 - 4x)^2} = \frac{10 - 8x + 8x - 12}{(5 - 4x)^2} = \frac{-2}{(5 - 4x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-2}{(5 - 4x)^2}$

4)

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного.

Обозначим $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = 1 - 7x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2x^2)' = 4x$

$v'(x) = (1 - 7x)' = -7$

Применим формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{4x(1 - 7x) - 2x^2(-7)}{(1 - 7x)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2}$