Номер 169, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Правила дифференцирования. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 169, страница 79.
№169 (с. 79)
Условие. №169 (с. 79)
скриншот условия

169. 1) $f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$,
2) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$,
3) $f(x) = \frac{2x - 3}{5 - 4x}$,
4) $f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x}$.
Решение 1. №169 (с. 79)




Решение 2. №169 (с. 79)

Решение 3. №169 (с. 79)
Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (правилом частного): $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.
В нашем случае, пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 2x + 1$.
Сначала найдем производные числителя $u(x)$ и знаменателя $v(x)$:
$u'(x) = (2x - 1)' = 2$
$v'(x) = (2x + 1)' = 2$
Теперь подставим эти производные в формулу для производной частного:
$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2 \cdot (2x + 1) - (2x - 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$f'(x) = \frac{4x + 2 - (4x - 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4}{(2x + 1)^2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{4}{(2x + 1)^2}$
2)Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ применим то же правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.
Найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:
$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$
$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$
Подставим найденные значения в формулу:
$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$
Упростим числитель:
$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$
3)Найдем производную функции $f(x) = \frac{2x - 3}{5 - 4x}$, используя правило частного.
Пусть $u(x) = 2x - 3$ и $v(x) = 5 - 4x$.
Вычислим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (2x - 3)' = 2$
$v'(x) = (5 - 4x)' = -4$
Подставим найденные производные в формулу частного:
$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2(5 - 4x) - (2x - 3)(-4)}{(5 - 4x)^2}$
Упростим выражение в числителе:
$f'(x) = \frac{10 - 8x - (-8x + 12)}{(5 - 4x)^2} = \frac{10 - 8x + 8x - 12}{(5 - 4x)^2} = \frac{-2}{(5 - 4x)^2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{-2}{(5 - 4x)^2}$
4)Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2x^2}{1 - 7x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного.
Обозначим $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = 1 - 7x$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (2x^2)' = 4x$
$v'(x) = (1 - 7x)' = -7$
Применим формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{4x(1 - 7x) - 2x^2(-7)}{(1 - 7x)^2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$f'(x) = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1 - 7x)^2} = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{4x - 14x^2}{(1 - 7x)^2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 169 расположенного на странице 79 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №169 (с. 79), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.