Номер 164, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 164, страница 79.

Условие.

164. Продифференцировать функцию:

1) $3x^2 - 6x + 6;$

2) $6x^2 + 5x - 7;$

3) $x + 12x^2;$

4) $x - 8x^2;$

5) $x^3 + 6x;$

6) $-12x^3 + 18x;$

7) $2x^3 - 8x^2 + 6x + 1;$

8) $-3x^3 + 2x^2 - x - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения производной функции будем использовать следующие основные правила и формулы дифференцирования:

• Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
• Производная константы: $(C)' = 0$
• Производная суммы/разности функций: $(u(x) \pm v(x))' = u'(x) \pm v'(x)$
• Вынесение константы за знак производной: $(C \cdot u(x))' = C \cdot u'(x)$

1) Дана функция $y = 3x^2 - 6x + 6$.

Найдем ее производную, применив правила дифференцирования для каждого слагаемого:

$y' = (3x^2 - 6x + 6)' = (3x^2)' - (6x)' + (6)'$

Используя правило для степенной функции и вынесение константы, получаем:

$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$

$(6x)' = 6 \cdot (x^1)' = 6 \cdot 1x^{1-1} = 6 \cdot 1 = 6$

$(6)' = 0$ (производная константы)

Соберем все вместе: $y' = 6x - 6 + 0 = 6x - 6$.

Ответ: $6x - 6$

2) Дана функция $y = 6x^2 + 5x - 7$.

Ее производная: $y' = (6x^2 + 5x - 7)' = (6x^2)' + (5x)' - (7)'$.

$(6x^2)' = 6 \cdot 2x = 12x$

$(5x)' = 5 \cdot 1 = 5$

$(7)' = 0$

Следовательно, $y' = 12x + 5 - 0 = 12x + 5$.

Ответ: $12x + 5$

3) Дана функция $y = x + 12x^2$.

Ее производная: $y' = (x + 12x^2)' = (x)' + (12x^2)'$.

$(x)' = 1$

$(12x^2)' = 12 \cdot 2x = 24x$

Следовательно, $y' = 1 + 24x$.

Ответ: $1 + 24x$

4) Дана функция $y = x - 8x^2$.

Ее производная: $y' = (x - 8x^2)' = (x)' - (8x^2)'$.

$(x)' = 1$

$(8x^2)' = 8 \cdot 2x = 16x$

Следовательно, $y' = 1 - 16x$.

Ответ: $1 - 16x$

5) Дана функция $y = x^3 + 6x$.

Ее производная: $y' = (x^3 + 6x)' = (x^3)' + (6x)'$.

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

$(6x)' = 6 \cdot 1 = 6$

Следовательно, $y' = 3x^2 + 6$.

Ответ: $3x^2 + 6$

6) Дана функция $y = -12x^3 + 18x$.

Ее производная: $y' = (-12x^3 + 18x)' = (-12x^3)' + (18x)'$.

$(-12x^3)' = -12 \cdot 3x^2 = -36x^2$

$(18x)' = 18 \cdot 1 = 18$

Следовательно, $y' = -36x^2 + 18$.

Ответ: $-36x^2 + 18$

7) Дана функция $y = 2x^3 - 8x^2 + 6x + 1$.

Ее производная: $y' = (2x^3 - 8x^2 + 6x + 1)' = (2x^3)' - (8x^2)' + (6x)' + (1)'$.

$(2x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$

$(8x^2)' = 8 \cdot 2x = 16x$

$(6x)' = 6 \cdot 1 = 6$

$(1)' = 0$

Следовательно, $y' = 6x^2 - 16x + 6 + 0 = 6x^2 - 16x + 6$.

Ответ: $6x^2 - 16x + 6$

8) Дана функция $y = -3x^3 + 2x^2 - x - 5$.

Ее производная: $y' = (-3x^3 + 2x^2 - x - 5)' = (-3x^3)' + (2x^2)' - (x)' - (5)'$.

$(-3x^3)' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$

$(2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$

$(x)' = 1$

$(5)' = 0$

Следовательно, $y' = -9x^2 + 4x - 1 - 0 = -9x^2 + 4x - 1$.

Ответ: $-9x^2 + 4x - 1$