Номер 166, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 166, страница 79.

Условие.

166. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0 (решить уравнение $f'(x) = 0$), если:

1) $f(x) = x^3 - 2x$;

2) $f(x) = -x^2 + 3x + 1$;

3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3$;

4) $f(x) = (x - 3)(x + 4)$;

5) $f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$;

6) $f(x) = (x + 1)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.
Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^3 - 2x)' = (x^3)' - (2x)' = 3x^{3-1} - 2x^{1-1} = 3x^2 - 2$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 2 = 0$
$3x^2 = 2$
$x^2 = \frac{2}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$x = \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^2 + 3x + 1$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (-x^2 + 3x + 1)' = -2x + 3$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-2x + 3 = 0$
$-2x = -3$
$x = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $x = 1.5$.

3) Дана функция $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 3)' = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 12 = 6x^2 + 6x - 12$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$6x^2 + 6x - 12 = 0$.
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить его:
$x^2 + x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Подбором находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1$.

4) Дана функция $f(x) = (x - 3)(x + 4)$.
Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки:
$f(x) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$.
Теперь найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + x - 12)' = 2x + 1$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Ответ: $x = -0.5$.

5) Дана функция $f(x) = (x - 2)^2(x + 1)$.
Для нахождения производной используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = (x-2)^2$ и $v = x+1$.
Найдем производные $u'$ и $v'$: $u' = ((x-2)^2)' = 2(x-2)^{2-1} \cdot (x-2)' = 2(x-2) \cdot 1 = 2x - 4$.
$v' = (x+1)' = 1$.
Подставим в формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = (2x - 4)(x + 1) + (x - 2)^2 \cdot 1$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f'(x) = (2x^2 + 2x - 4x - 4) + (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 2x - 4 + x^2 - 4x + 4 = 3x^2 - 6x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x = 0$.
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

6) Дана функция $f(x) = (x + 1)^3$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$:
$f'(x) = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3(x+1)^2 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
$x+1 = 0$
$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.