Номер 173, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Правила дифференцирования. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 173, страница 80.

Условие.

173. Выяснить, при каких значениях $x$ производная функции $f(x)$ принимает отрицательные значения, если:

1) $f(x) = x^2 - 7x + 10;$

2) $f(x) = -x^2 + 4x;$

3) $f(x) = -3x^3 + 3x^2 + 4;$

4) $f(x) = (1 - 3x)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $f(x) = x^2 - 7x + 10$.

Сначала найдем ее производную:

$f'(x) = (x^2 - 7x + 10)' = 2x - 7$.

Теперь необходимо найти значения $x$, при которых производная принимает отрицательные значения, то есть решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x - 7 < 0$

$2x < 7$

$x < \frac{7}{2}$

$x < 3,5$

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (-\infty; 3,5)$.

Ответ: $(-\infty; 3,5)$.

2) Для функции $f(x) = -x^2 + 4x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$-2x + 4 < 0$

$-2x < -4$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2), знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-4}{-2}$

$x > 2$

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = -3x^3 + 3x^2 + 4$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-3x^3 + 3x^2 + 4)' = -3 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 0 = -9x^2 + 6x$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$-9x^2 + 6x < 0$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:

$3x^2 - 2x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x - 2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(3x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > \frac{2}{3}$.

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = (1 - 3x)^3$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = ((1 - 3x)^3)' = 3(1 - 3x)^{3-1} \cdot (1 - 3x)' = 3(1 - 3x)^2 \cdot (-3) = -9(1 - 3x)^2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$-9(1 - 3x)^2 < 0$

Разделим обе части на -9, изменив знак неравенства:

$(1 - 3x)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(1 - 3x)^2$ равно нулю только в одном случае:

$1 - 3x = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Следовательно, неравенство $(1 - 3x)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Таким образом, производная функции отрицательна при $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.