Номер 178, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Правила дифференцирования. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 178, страница 80.
№178 (с. 80)
Условие. №178 (с. 80)
скриншот условия

178. Найти производную функции:
1) $f(x)=(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^2$;
2) $f(x)=(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^3$.
Решение 1. №178 (с. 80)


Решение 2. №178 (с. 80)


Решение 3. №178 (с. 80)
1) Дана функция $f(x) = (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^2$.
Это сложная функция вида $y = g(h(x))$, где внешняя функция $g(u) = u^2$ и внутренняя функция $h(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 1$.
Для нахождения производной такой функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В виде степенной функции это правило выглядит так: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
В нашем случае $u = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 1$ и $n = 2$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:
$u'(x) = (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)' = (3x^3)' - (4x^2)' + (2x)' - (1)'$
Используя правило производной степенной функции $(x^k)'=kx^{k-1}$, получаем:
$u'(x) = 3 \cdot 3x^{3-1} - 4 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 9x^2 - 8x + 2$.
Теперь подставляем $u$, $u'$ и $n$ в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 2 \cdot (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^{2-1} \cdot (9x^2 - 8x + 2)$.
Упрощая выражение, получаем:
$f'(x) = 2(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)(9x^2 - 8x + 2)$.
Ответ: $f'(x) = 2(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)(9x^2 - 8x + 2)$.
2) Дана функция $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^3$.
Эта функция также является сложной, поэтому для нахождения ее производной применим то же цепное правило: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь внутренняя функция $u = x^3 - 2x^2 + 3x + 2$ и показатель степени $n = 3$.
Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:
$u'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)' = (x^3)' - (2x^2)' + (3x)' + (2)'$
$u'(x) = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 3x^2 - 4x + 3$.
Теперь подставим полученные значения в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 3 \cdot (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^{3-1} \cdot (3x^2 - 4x + 3)$.
Упрощая, получаем окончательный вид производной:
$f'(x) = 3(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^2(3x^2 - 4x + 3)$.
Ответ: $f'(x) = 3(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^2(3x^2 - 4x + 3)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 178 расположенного на странице 80 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №178 (с. 80), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.