Номер 178, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 5. Правила дифференцирования - номер 178, страница 80.

Условие.

178. Найти производную функции:

1) $f(x)=(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^2$;

2) $f(x)=(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^2$.

Это сложная функция вида $y = g(h(x))$, где внешняя функция $g(u) = u^2$ и внутренняя функция $h(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 1$.

Для нахождения производной такой функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В виде степенной функции это правило выглядит так: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

В нашем случае $u = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 1$ и $n = 2$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)' = (3x^3)' - (4x^2)' + (2x)' - (1)'$

Используя правило производной степенной функции $(x^k)'=kx^{k-1}$, получаем:

$u'(x) = 3 \cdot 3x^{3-1} - 4 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 9x^2 - 8x + 2$.

Теперь подставляем $u$, $u'$ и $n$ в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 2 \cdot (3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)^{2-1} \cdot (9x^2 - 8x + 2)$.

Упрощая выражение, получаем:

$f'(x) = 2(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)(9x^2 - 8x + 2)$.

Ответ: $f'(x) = 2(3x^3 - 4x^2 + 2x - 1)(9x^2 - 8x + 2)$.

2) Дана функция $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^3$.

Эта функция также является сложной, поэтому для нахождения ее производной применим то же цепное правило: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь внутренняя функция $u = x^3 - 2x^2 + 3x + 2$ и показатель степени $n = 3$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)' = (x^3)' - (2x^2)' + (3x)' + (2)'$

$u'(x) = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 3x^2 - 4x + 3$.

Теперь подставим полученные значения в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u' = 3 \cdot (x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^{3-1} \cdot (3x^2 - 4x + 3)$.

Упрощая, получаем окончательный вид производной:

$f'(x) = 3(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^2(3x^2 - 4x + 3)$.

Ответ: $f'(x) = 3(x^3 - 2x^2 + 3x + 2)^2(3x^2 - 4x + 3)$.