Номер 185, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 6. Производная степенной функции - номер 185, страница 83.

Условие.

Найти производную функции (185–189).

185. 1) $\frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}$;

2) $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти производную функции $y = \frac{x^5 + x^3 + x}{x+1}$, мы воспользуемся правилом нахождения производной частного (дроби):
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
В данном случае:
$u(x) = x^5 + x^3 + x$
$v(x) = x+1$
Сначала найдем производные числителя $u'(x)$ и знаменателя $v'(x)$:
$u'(x) = (x^5 + x^3 + x)' = 5x^4 + 3x^2 + 1$
$v'(x) = (x+1)' = 1$
Теперь подставим полученные выражения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x+1) - (x^5 + x^3 + x) \cdot 1}{(x+1)^2}$
Упростим выражение в числителе. Сначала раскроем скобки:
$(5x^4 + 3x^2 + 1)(x+1) = 5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1$
Теперь выполним вычитание в числителе:
$(5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1) - (x^5 + x^3 + x)$
$= 5x^5 - x^5 + 5x^4 + 3x^3 - x^3 + 3x^2 + x - x + 1$
$= 4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1$
В результате получаем производную:
$y' = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x+1)^2}$
Ответ: $\frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x+1)^2}$

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^4 + x^2 + 1}{x-1}$ используем то же правило производной частного:
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
В данном случае:
$u(x) = x^4 + x^2 + 1$
$v(x) = x-1$
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x^4 + x^2 + 1)' = 4x^3 + 2x$
$v'(x) = (x-1)' = 1$
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = \frac{(4x^3 + 2x)(x-1) - (x^4 + x^2 + 1) \cdot 1}{(x-1)^2}$
Упростим числитель. Раскроем скобки:
$(4x^3 + 2x)(x-1) = 4x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 2x$
Выполним вычитание в числителе:
$(4x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 2x) - (x^4 + x^2 + 1)$
$= 4x^4 - x^4 - 4x^3 + 2x^2 - x^2 - 2x - 1$
$= 3x^4 - 4x^3 + x^2 - 2x - 1$
Таким образом, итоговая производная:
$y' = \frac{3x^4 - 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$
Ответ: $\frac{3x^4 - 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$